3.1.4 空间向量的直角坐标运算预习导航课程目标学习脉络1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量共线或垂直．3．能够用向量工具将几何问题转化为代数问题来解决.1．空间向量的坐标表示(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量 i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量 i，j，k 都叫做坐标向量．(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量 a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使 a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k 分别为向量 a 在 i，j，k 方向上的分向量，有序实数组( a 1， a 2， a 3)叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作 a＝( a 1， a 2， a 3) ． 思考 1 空间向量 a＝(a1，a2，a3)平行于坐标平面 xOy 时其坐标有何特点？提示：a3＝0.2．空间向量的直角坐标运算(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)；a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)；λa＝( λa 1， λa 2， λa 3)；a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．思考 2 空间向量的坐标与向量终点的坐标有什么区别？提示：向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量其坐标才等于向量终点的坐标．13．空间向量平行和垂直的条件设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0) a＝λb a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3，当 b1，b2，b3都不为 0 时，a∥b ＝＝；(2)a⊥b a·b＝0 a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 .4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，|b|＝＝，cos〈a，b〉＝＝.设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝.思考 3 空间向量模的坐标计算公式与平面向量模的计算公式是否一致，有怎样的几何意义？提示：空间向量的模表示向量的长度，计算公式与平面向量的长度计算公式一致，其几何意义是指以原点为起点的有向线段的长度．2
