3.1.5 空间向量运算的坐标表示[目标] 1.掌握空间向量的坐标运算.2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.3.掌握向量长度，两向量夹角和两点间距离公式．[重点] 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题．[难点] 立体几何问题坐标化、代数化．知识点一 空间向量的加减和数量积运算的坐标表示[填一填]设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3) ． (2)a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3) ． (3)λa＝( λa 1， λa 2， λa 3)(λ∈R)．(4)a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3.[答一答]1．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．知识点二 夹角与距离公式[填一填]在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则(1)模：|a|＝＝ .(2)夹角：cosa，b＝＝.(3)垂直：若 a⊥b，则有 a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝0.(4)平行：若 b≠0，则 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝ λb 1，a2＝ λb 2，a3＝ λb 3(λ∈R)．(5)＝( b 1－ a 1， b 2－ a 2， b 3－ a 3) ． (6)dAB＝|AB|＝.[答一答]2．若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝对吗？提示：不一定正确，因为 b1，b2，b3可能为 0，只有 b1≠0，b2≠0，b3≠0 时才有＝＝成立．3．空间向量的夹角与距离公式与平面向量的夹角与距离公式有什么不同？提示：空间向量的夹角公式及空间向量长度的坐标计算公式分别类似于平面向量的夹角公式及平面向量长度的坐标计算公式，只是都多了一个竖坐标．1．应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．2．判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为 0.3．用向量法求两异面直线所成角时，首先依据题设取异面直线上的方向向量，然后求出两向量的夹角，若夹角为锐角则该角就是两异面直线的夹角，若向量夹角为钝角，则该角的补角就是两异面直线所成的角．4．用向量法求空间两点间的距离时，首先依据题意求出由两点组成的向量的坐标，再利用|a|＝求出两点间的距离．类型一 空间向量的坐标运算【例 1】 在△ABC 中，A(2，－5,3)，AB＝(4,1,2)，BC＝(3，－2,5)．(1)求顶点 B，C 的坐标；(2)求CA·BC；(3)若点 P 在 AC 上...
