第二课时 复数的乘方与除法运算问题 1：在实数中，若 a·b＝c(a≠0)，则 b＝.反之，若 b＝，则 a·b＝c.那么在复数集中，若 z1·z2＝z3，有 z1＝(z2≠0)成立吗？提示：成立．问题 2：若复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则如何运算？提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后可得结果，即＝＝＝＋i(c＋di≠0)．对任意复数 z，z1，z2和 m，n∈N*，有(z)m·(z)n＝( z ) m ＋ n ；(zm)n＝z mn ；(z1·z2)n＝z · z .2．虚数单位 in(n∈N*)的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－ 1 ，i4n＋3＝－ i .3．复数的除法运算及法则把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数 x＋yi(x，y∈R)叫做复数 a＋bi 除以复数 c＋di 的商．且 x＋yi＝＝＝＋i.由＝＝＝＋i，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．虚数单位 i 的幂的周期性[例 1] 求 1＋i＋i2＋…＋i2 014的值．[思路点拨] 利用 in的性质计算，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，还可以利用等比数列求和来解．[精解详析] 法一：1＋i＋i2＋…＋i2 014＝＝＝＝i.法二： in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)，∴1＋i＋i2＋…＋i2 014＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋i2 013＋i2 014＝1＋i－1＝i.[一点通] 等差、等比数列的求和公式在复数集 C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．1．若 z＝－，则 z2 014＋z102＝________.解析： z2＝2＝－i，∴z2 014＋z102＝(－i)1 007＋(－i)51＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3＝i＋i＝2i.答案：2i2．设 z1＝i4＋i5＋i6＋…＋i12，z2＝i4·i5·i6 ·… ·i12，则 z1 与 z2 的关系为z1________z2(用“＝”或“≠”填)．解析： z1＝＝＝1，z2＝i4＋5＋6＋…＋12＝i＝i72＝(i4)18＝1，∴z1＝z2.答案：＝复数的除法[例 2] 计算：(1)＋(5＋i2)－2；(2).[思路点拨] 解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．[精解详析] (1)原式＝＋(5＋i2)－2＝i＋5－1－i＝i＋4－i＝4.(2)原式＝＝＝＝·(2i)2i＝－4i.[一点通] 复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉...
