三 平面与圆锥面的截线互动课堂重难突破一、在空间中,取直线 l 为轴,直线 l′与 l 相交于 O 点,其夹角为 α,l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点,l′为母线的圆锥面.任取平面 π,若它与轴 l 交角为 β（π 与 l 平行,记 β＝0）,则（1）2 ,平面 π 与圆锥的交线为圆;（2）β＞α,平面 π 与圆锥的交线为椭圆;（3）β＝α,平面 π 与圆锥的交线为抛物线;（4）β＜α,平面 π 与圆锥的交线为双曲线.图 3-3-1二、刨根问底问题 椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭图形,其图形不一样,但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到,它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数,即离心率 e,定义上的统一,必然也蕴含着图形统一,应该如何解释这种现象呢？探究:我们知道,椭圆时离心率 e 越大,椭圆越扁;双曲线时离心率 e 越大,双曲线开口越大.随着 e 的增大,椭圆越变越扁,但左半部分开口越来越大,左顶点离 l 越来越近,而右顶点离 F 点越来越远;当 e 趋近于 1 时,左顶点趋近于 F 与 l 间的中点,而右顶点趋向无穷远处;当e =1 时,我们可以大胆地认为右顶点在无穷远处,此时曲线变为抛物线;当 e＞1 时,开口越来越大,右顶点超过无穷远处并开始返回,此时曲线变为双曲线两支,或认为双曲线两支无限延伸交于无穷远处,如图 3-3-3.图 3-3-3于是我们可以猜想:三条圆锥曲线都为封闭图形,其形状都为椭圆,所以,圆锥曲线在图形上依然存在着统一.这是一种无限的思想,所以我们可更大胆猜想如果人一直往前走,当生命允许的话,最终会走到自己的背后.我们可以在理论上对图形的统一性进行探索.因为顶点（曲线与两个坐标轴的交点）如 A1是圆锥曲线上的点,所以满足NAFA11=e,当e→1 时,A1向中点靠近;当 e =1 时,A1位于中点;当 e→+∞时,A1向 N 靠近.这里 A1只是 FN1的内分点,其实满足eANAF 的还有一个外分点,即另一顶点 A2,满足eNAFA22.当 e<1 时圆锥曲线为椭圆,所以它的外分点 A2位于 NF 的延长线上;当 e→1 时,A2离 F 点越远;当 e =1时,外分点不存在,或者我们就可以理解为 A2位于无穷远处,所以抛物线只有一个顶点;当e>1 时,圆锥曲线为双曲线,外分点 A2位于 NF 的反向延长线上;e→+∞时,A2从左侧向 N 靠近.这也揭示了为什么椭圆有两个顶点,抛物线只有一个顶点,双曲线有两个顶点,及它们之间的区别,你可以由此进一步理解圆锥曲线的内在统一性.活学巧用【...
