高中数学 第二章 参数方程 二 1 椭圆的参数方程教学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教学案

1．椭圆的参数方程 椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆＋＝1 的参数方程是(φ 是参数)，规定参数 φ的取值范围是[0,2π) ． (2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为＋＝1，则其参数方程为(φ 是参数)． 椭圆的参数方程的应用：求最值[例 1] 已知实数 x，y 满足＋＝1，求目标函数 z＝x－2y 的最大值与最小值．[思路点拨] 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题．[解] 椭圆＋＝1 的参数方程为(φ 为参数)．代入目标函数得z＝5cos φ－8sin φ＝cos(φ＋φ0)＝cos(φ＋φ0)(tan φ0＝)．所以目标函数 zmin＝－，zmax＝.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆＋＝1，点 A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点 P，使点 P 与点 A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为(θ 为参数)．设 P(5cos θ，4sin θ)，则|PA|＝＝＝＝|3cos θ－5|≤8，当 cos θ＝－1 时，|PA|最大．此时，sin θ＝0，点 P 的坐标为(－5,0).椭圆参数方程的应用：求轨迹方程[例 2] 已知 A，B 分别是椭圆＋＝1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹方程．[思路点拨] 由条件可知，A，B 两点坐标已知，点 C 在椭圆上，故可设出点 P 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．[解] 由题意知 A(6,0)、B(0,3)．由于动点 C 在椭圆上运动，故可设动点 C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点 G 的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数 θ 得到＋(y－1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．2．已知椭圆方程是＋＝1，点 A(6,6)，P 是椭圆上一动点，求线段 PA 中点 Q 的轨迹方程．解：设 P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，则有即(θ 为参数)∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求．3．设 F1、F2分别为椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆 C 上的点 A(1，)到 F1，F2的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；(2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 F1P 的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点 A 到 F1，F2的距离之和是 4，得 2a＝4，即 a＝2.又点 A(1，)在椭圆上，因此＋＝1，得 b2＝3，于是 c2＝a2－b2＝1，所以椭圆 C 的方程为＋＝1，焦点...