高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明导学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.自学导引1.设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥| a 1b1＋a2b2＋…＋ a nbn|，其中等号成立⇔＝＝…＝(当 bj＝0 时，认为 aj＝0，j＝1，2，…，n).2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.基础自测1.设 x，y，z 满足 x2＋2y2＋3z2＝3，则 x＋2y＋3z 的最大值是( )A.3 B.4C. D.6解析 x＋2y＋3z＝x＋(y)＋(z)＝≤＝＝3，选 A.答案 A2.n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( )A.1 B.nC.n2 D.解析 (a1＋a2＋…＋an)＝[()2＋()2＋…＋()2]·≥＝n2，选 C.答案 C3.已知 x、y、z∈R*且 x＋y＋z＝，则 x2＋y2＋z2的最小值是________.解析 x2＋y2＋z2＝≥＝.答案 1知识点 1 利用柯西不等式证明不等式【例 1】 设 a，b，c 为正数且互不相等，求证：＋＋>.证明 2(a＋b＋c)＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·＝[()2＋()2＋()2]·[( )2＋( )2＋( )2]≥＝(1＋1＋1)2＝9.∴＋＋≥. a，b，c 互不相等，∴等号不可能成立，从而原不等式成立.●反思感悟：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.1.已知 a1，a2，a3为实数，b1，b2，b3为正实数.求证：＋＋≥.证明 由柯西不等式得：(b1＋b2＋b3)≥＝(a1＋a2＋a3)2.∴＋＋≥.知识点 2 利用柯西不等式求函数的最值【例 2】 已知 a，b，c∈R＋且 a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值.解 ＋＋＝·1＋·1＋·1≤(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)(12＋12＋12)＝×＝.当且仅当＝＝时取等号.即 a＝b＝c＝时，所求的最大值为.●反思感悟：利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常2数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式.2.若 a，b∈R＋且 a＋b＝1，则＋的最小值为________.解析 ·(12＋12)≥＝＝ a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2，∴≤，即 ab≤，∴≥4.∴≥25.∴2≥25即＋≥.答案 知识点 3 利用柯西不等式解方程【例 3】 在实数集内解方程.解 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)[(－8)2＋62＋(－24)2]≥(－8x＋6y－24y)2① (x2＋y2＋z2)[(－8)2＋62＋(－24)2]＝×(64＋36＋576)＝392又(－8x＋6y－...