2.3.1 向量数量积的物理背景与定义基础知识基本能力1．理解平面向量数量积的含义、物理意义及其几何意义．(重点)2．掌握向量数量积的运算性质．(重点、难点)1．能识别平面向量的数量积与向量投影的关系．(易错点)2．能正确地利用数量积的运算性质解决与长度、夹角、垂直等有关的问题．(重点、难点)1．两个向量的夹角已知两个非零向量 a，b(如下图所示)，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 称作向量 a 和向量 b的夹角，记作〈a，b〉，并规定 0≤〈a，b〉≤π，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了， 并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．当〈a，b〉＝时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作 a⊥b.规定零向量与任意向量垂直．【自主测试 1】在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，则〈，〉＝__________，〈，〉＝__________.答案：90° 135°2．向量在轴上的正射影(1)已知向量 a 和轴 l(如下图所示)，作OA＝a，过点 O，A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1，A1，则向量O1A1叫做向量 a 在轴 l 上的正射影(简称射影)．该射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的数量或在轴 l 的方向上的数量，记作 al，向量 a 的方向与轴 l 的正向所成的角为 θ，则有 al＝| a |cos θ .(2)当 θ 为锐角时，al＞0；当 θ 为钝角时，al＜0；当 θ＝0 时，al＝|a|；当 θ＝π时，al＝－|a|.名师点拨向量 a 在轴 l 上的正射影是向量 a 在轴 l 上的分向量；向量 a 在轴 l 上的数量是其正射影在轴 l 上的坐标，与向量 a 和轴 l 所成的角有关．【自主测试 2】已知|p|＝2，|q|＝3，且 p 与 q 的夹角 θ 为 120°，则向量 p 在向量 q方向上的数量为__________；向量 q 在向量 p 方向上的数量为__________．解析：向量 p 在向量 q 方向上的数量为|p|cos θ＝2×cos 120°＝－1.同理，向量 q在向量 p 方向上的数量为|q|cos θ＝3×cos 120°＝－.答案：－1 －3．向量的数量积(内积)(1)定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝| a || b |cos 〈 a ， b 〉 ．(2)理解：两个向量的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零．【自主测试 3】若|a|＝3，|b|＝4，a，b 的夹角为 135°，则 a·b 等于( )A．－3 B．－6 C．6 D．12解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6.答案：B4．向量数量积的性质设 a，b 为两个非零向量...
