2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课堂导学三点剖析 一、向量数量积的坐标运算若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a·b=a1b1+a2b2.【例 1】 已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且·=5,2=10.(1)求 D 点的坐标;(2)用、表示.思路分析:求 D 点坐标要先设出 D 点的坐标,然后用待定系数法求之.解：(1)设 D(x,y),则=(1,2),=(x+1,y),所以·=x+1+2y=5,①2=(x+1)2+y2=10.②联立①②,解之,得所以 D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)当 D 点的坐标为(-2,3)时,=(1,2),=(-1,3),=(-2,1),设=m+n,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),所以所以 m=-1,n=1.所以=-+.当 D 点的坐标为(2,1)时,设=p+q,则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),所以所以 p=1,q=-1.所以=-.综上,当 D 点的坐标为(-2,3)时,=-+.当 D 点的坐标为(2,1)时,=-.各个击破类题演练 1设 a=(4,-3),b=(2,1),若 a+tb 与 b 的夹角为 45°,求实数 t 的值.思路分析:运用(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°列出等式,解方程.解:a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,-3+t),(a+tb)·b=(4+2t,-3+t)·(2,1)=5t+5,|a+tb|=.由(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°,得 5t+5=,即 t2+2t-3=0.∴t=-3 或 t=1.经检验知 t=-3 不合题意，舍去，∴t=1.温馨提示 本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会.变式提升 1已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10.(1)求向量 a 的坐标;(2)若 c=(2,-1),求(b·c)a.思路分析:因为 a 与 b 同向,所以在设出 a 的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件.解:(1) a 与 b 同向,∴可设 a=(k,2k)(k>0).又 a·b=10,∴(k,2k)·(1,2)=10k=2.∴a=(2,4).(2)(b·c)a=［(1,2)·(2,-1)］(2,4)=0(2,4)=0. 二、两向量垂直条件的坐标表示设 a 与 b 为两个非零向量,且 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a⊥ba1b1+a2b2=0.【例 2】 在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 为直角三角形,求 k 的值.思路分析:题目中只给出了△ABC 为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论.解：若∠A=90°,由已知得·=0,∴2×1+3k=0,解得 k=.若∠B=90°,则·=0, =-=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3),∴·=2×(-1)+3(k-3)=0,解得 k=.若∠C=90°,则·=0.∴1×(-1)+k(k-3)=0,即 k2-3k-1=0,解得 k=.综上可得 k=或 k=或 k=.类题演练 2已知 a=(1,0),b=(1,1),当 λ 为何值时,(a+λb)⊥a?思路分析:先求出 a+λb 的坐标,然后由垂直的条...
