2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义互动课堂疏导引导1.力做功的计算如图 2-4-1,一个力 f 作用于一个物体使物体发生位移 s.由于图示的力 f 的方向与前进方向有一个夹角 θ,真正使物体前进的力是 f 在物体前进方向上的分力,这个分力与物体位移距离的乘积才是力 f 做的功,即 w=|s|·|f|cosθ.图 2-4-1疑难疏引 f 在物体前进方向上的分量,就是 f 在物体前进方向上的正射影的数量.2.向量积数量积(内积)定义(1)数量积(内积)定义|a|·|b|·cos〈a,b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉.数量积定义中指明了平面向量数量积的运算程序和运算结果,即平面向量的数量积等于两向量模与其夹角的余弦的积,运算结果是一个实数,此数的符号由两向量夹角的余弦决定.疑难疏引 ①当 a≠0 时,由 a·b=0,不能推出 b 一定是零向量.② 以一个向量与单位向量的数量积为例,其几何意义就是向量在单位向量上的正射影的数量.(2)平面向量数量积的性质根据向量内积定义,可得数量积有如下重要性质:① 如果 e 是单位向量,则 a·e=e·a=|a|·cos〈a,e〉;②a⊥ba·b=0 且 a·b=0a⊥b;③a·a=|a|2或|a|=;④cos〈a,b〉=;⑤|a·b|≤|a|·|b|. 以上是两个向量内积的五条性质,性质②给出了两向量垂直的充要条件;性质③求向量长度,在向量的内积运算中经常用到;性质④求两向量夹角公式,体现了向量的内积与三角的联系.3.b 在 a 方向上的投影如图 2-4-2,=b, =a,过 B 作 BB1⊥,垂足为 B1,则就叫 b 在 a 方向上的投影,且=|b|·cosθ.图 2-4-2当 θ∈(0,)时,＞0;θ=时,=0;θ∈(,π)时,＜0.活学巧用1.一个大小为 10 牛顿的力作用于物体 A(如图 2-4-3),使之前行了 5 米,则该力所做的功为______________.图 2-4-3解析：由题意有 f 在位移 s 方向上的正射影的数量为|f|cos60°,即 5 牛顿,从而力所做的功为.w=|f|·|s|·cos60°=5×5=25(焦耳).答案：25 焦耳2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)〈a,b〉=时,分别求 a 与 b 的数量积.解析：已知|a|与|b|,求 a·b 只需确定其夹角 θ,需注意到 a∥b 时,有〈a,b〉=0 和〈a,b〉=π 两种可能.解：(1) a∥b,∴a、b 的夹角有两种情况,即〈a,b〉=0 或〈a,b〉=π.于是〈a,b〉=0 时,a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=4×5×cosθ=20,〈a,b〉=π 时,a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=4×5×cosπ=-20.(2)a⊥b 时,〈a,b〉=,∴a·b=|a|·|b|cos=0....
