1 平面向量数量积的物理背景及其含义互动课堂疏导引导1
力做功的计算如图 2-4-1,一个力 f 作用于一个物体使物体发生位移 s
由于图示的力 f 的方向与前进方向有一个夹角 θ,真正使物体前进的力是 f 在物体前进方向上的分力,这个分力与物体位移距离的乘积才是力 f 做的功,即 w=|s|·|f|cosθ
图 2-4-1疑难疏引 f 在物体前进方向上的分量,就是 f 在物体前进方向上的正射影的数量
向量积数量积(内积)定义(1)数量积(内积)定义|a|·|b|·cos〈a,b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉
数量积定义中指明了平面向量数量积的运算程序和运算结果,即平面向量的数量积等于两向量模与其夹角的余弦的积,运算结果是一个实数,此数的符号由两向量夹角的余弦决定
疑难疏引 ①当 a≠0 时,由 a·b=0,不能推出 b 一定是零向量
② 以一个向量与单位向量的数量积为例,其几何意义就是向量在单位向量上的正射影的数量
(2)平面向量数量积的性质根据向量内积定义,可得数量积有如下重要性质:① 如果 e 是单位向量,则 a·e=e·a=|a|·cos〈a,e〉;②a⊥ba·b=0 且 a·b=0a⊥b;③a·a=|a|2或|a|=;④cos〈a,b〉=;⑤|a·b|≤|a|·|b|
以上是两个向量内积的五条性质,性质②给出了两向量垂直的充要条件;性质③求向量长度,在向量的内积运算中经常用到;性质④求两向量夹角公式,体现了向量的内积与三角的联系
b 在 a 方向上的投影如图 2-4-2,=b, =a,过 B 作 BB1⊥,垂足为 B1,则就叫 b 在 a 方向上的投影,且=|b|·cosθ
图 2-4-2当 θ∈(0,)时,＞0;θ=时,=0;θ∈(,π)时,＜0
一个大小为 1
