高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂疏导引导1.向量求和的三角形法则 已知向量 a、b，在平面内任取一点 A，作=a，=b，则向量叫做 a 与 b 的和向量，记作 a+b，即 a+b=+=.这种求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则.（如图 2-2-1 所示）图 2-2-1疑难疏引 ①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.② 向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.③ 当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.2.向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量 a 的和有 a+0=0+a=a.(2)向量加法的交换律：a+b=b+a.简证如下：① 若 a、b 不共线，作=a,=b,则 A、B、C 三点不共线，=a+b.作=b，连结 DC，（如图 2-2-2），由于=，∴四边形 ABCD 为平行四边形.∴DCAB.∴||=||=|a|,又与同向，∴=，此时有 b+a=+=,即有 a+b=b+a.② 当 a 与 b 共线且同向时，a+b 及 b+a 都与 a 同向，且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=|b|+|a|.a+b与 b+a 同向，故有 a+b=b+a.③ 当 a 与 b 共线且反向时，不妨设|a|＞|b|,a+b 与 a 同向，且|a+b|=|a|-|b|,b+a 与 a 同向，且|b+a|=|a|-|b|.故 a+b 与 b+a 同向，因此 a+b=b+a.综合①②③知 a+b=b+a. 图 2-2-2 图 2-2-3(3)向量加法的结合律：（a+b）+c=a+(b+c).验证如下：如图 2-2-3.（a+b）+c=+=,a+(b+c)= .∴(a+b)+c=a+(b+c).疑难疏引 向量加法的运算律同实数加法的运算律一致,都满足交换律与结合律.由于向量的加法具有这两个运算律,因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.3.向量求和的平行四边形法则 已知两个不共线的向量 a，b，作=a，=b，则 A、B、D 三点不共线，以、为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线上的向量=a+b.这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.疑难疏引 两个向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了.因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.4.向量加法的实际应用 向量的加法在日常生产、生活中应用广泛，主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决.案例 1 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.【探究】 本题是用向量解决物理问题，...