高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课堂导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课堂导学 三点剖析1.两个向量数量积的坐标表示【例 1】 已知向量 a=(4,3),b=(-1,2).(1)求 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值；（2）若向量 a-λb 与 2a+b 垂直，求 λ 的值.解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,又 |a|==5,|b|=,∴cosθ=.(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8). (a-λb)⊥(2a+b),∴(a-λb)·(2a+b)=0.∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.∴λ=.温馨提示 运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式.2.数量积坐标表示的应用【例 2】已知 a、b 是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求 a 与 a+b 的夹角.思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到a·b 与 a 的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决.解法 1：根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2.又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=|a|.设 a 与 a+b 的夹角为 θ，则cosθ=.∴θ=30°解法 2：设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2). |a|=|b|,∴x12+y12=x22+y22.由|b|=|a-b|,得 x1x2+y1y2=(x12+y12).即 a·b=(x12+y12).由|a+b|2=2(x12+y12)+2×(x12+y12)=3(x12+y12),得|a+b|=.设 a 与 a+b 的夹角为 θ,则 cosθ=.∴θ=30°.解法 3：根据向量加法的几何意义，作图如右图在平面内任取一点 O，作=a，=b，以、为邻边作平行四边形 OACB. |a|=|b|,即||=||，∴平行四边形 OACB 为菱形，OC 平分∠AOB.这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|,即||=||=||.∴△AOB 为正三角形，则∠AOB=60°.于是∠AOC=30°,即 a 与 a+b 的夹角为 30°.温馨提示 基于平面向量的表示上的差异,也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同解法.对于本题的三种解法都要认真理解.3.平面向量数量积坐标表示的综合应用【例 3】已知 A（2，1），B（3，2），D（-1，4）.（1）求证：⊥；（2）若四边形 ABCD 是矩形，试确定点 C 的坐标并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值.思路分析：本题主要考查向量垂直的等价条件及夹角公式.要证明⊥，只需证·=0.在⊥的前提下，只要找点 C 使=.(1)证明： A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3),又·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥.(2)解： 四边形 ABCD 为矩形且 AB⊥AD，∴=.设点 C 的坐标为（x,y）,则（-3，3）=（x-3,y-2）,∴∴∴点 C 坐标为（0,5）.又 =（-2，4），=（-4，2），∴·=（-2）×(-4)+4×2=16,而||=，||=.设与的夹角...