2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标：1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．向量的数乘运算定义实数 λ 与向量 a 的乘积是一个向量记法λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0方向与 a 的方向相同λ＜0方向与 a 的方向相反思考：(1)何时有 λa＝0?(2)从几何角度考虑，向量 2a 和－a 与向量 a 分别有什么关系？[提示] (1)若 λ＝0 或 a＝0 则 λa＝0.(2)2a 与 a 方向相同，2a 的长度是 a 的长度的 2 倍，－a 与 a 方向相反，－a 的长度是a 的长度的.2．向量的数乘运算的运算律设 λ，μ 为任意实数①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.4．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[基础自测]1．思考辨析(1)对于任意的向量 a，总有 0·a＝0.( )(2)当 λ＞0 时，|λa|＝λa.( )(3)若 a≠0，λ≠0，则 a 与－λa 的方向相反．( )[解析] (1)错误.0·a＝0；(2)错误．|λa|＝λ|a|(λ＞0)．(3)错误．当 λ＜0 时，－λ＞0，a 与－λa 的方向相同．[答案] (1)× (2)× (3)×2．点 C 是线段 AB 靠近点 B 的三等分点，下列正确的是( )A.AB＝3BC B.AC＝2BCC.AC＝BC D.AC＝2CBD [由题意可知：AB＝－3BC；AC＝－2BC＝2CB.故只有 D 正确．]3．如图 2227，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.图 22272 [由向量加法的平行四边形法则知AB＋AD＝AC.又 O 是 AC 的中点，∴AC＝2AO，∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO，∴λ＝2.][合 作 探 究·攻 重 难]向量的线性运算 (1)若 3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则 x＝________.(2)化简下列各式：①3(6a＋b)－9；②－2；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.(1)4b－3a [(1)由已知得 3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以 x＋3a－4b＝0，所以 x＝4b－3a.(2)① 原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.② 原式＝－a...
