高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦学案（含解析）新人教B版必修第三册-新人教B版高一必修第三册数学学案

8．2 三角恒等变换8．2.1 两角和与差的余弦[课程目标] 1.掌握两角和与差的余弦公式，会利用公式进行三角函数式的化简和求值．2．掌握常用角的变换，会利用公式进行化简和求值．[填一填]1．两角和与差的余弦公式cos(α＋β)＝cos α cos β － sin α sin β ，(Cα＋β)cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β .(Cα－β)2．两角差的余弦公式推导推导：以坐标原点为中心作单位圆，以 Ox 为始边作角 α 与 β，它们终边分别与单位圆相交于点 P，Q，如图所示，则 P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，|OP|＝|OQ|＝1，则 α－β＝±〈OP，OQ〉＋2kπ(k∈Z)． OP·OQ＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.又OP·OQ＝|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. (1)在公式(1)中用－β 代替 β 则有cos[α－(－β)]＝cos(α＋β)＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，即 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.[答一答]1．怎样理解两角和与差的余弦公式？提示：(1)两角和与差的余弦公式的结构特征为：公式的左侧为 α，β 的差(和)角的余弦，右侧为 α，β 的余弦之积与正弦之积的和(差)简记为“余余正正符号异”．(2)公式中的 α、 β 为任意角，即对任意的角 α、 β，公式均成立．(3)诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况．两角中若有的整数倍的角，使用诱导公式会简化运算，不需要再用两角和与差的三角函数公式展开来计算．(4)和(差)角的余弦公式不能按照分配律展开，即 cos(α＋β)≠cosα＋cosβ，cos(α－β)≠cosα－cosβ.(5)注意公式的逆用，变形应用是灵活使用公式的前提，如 cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝2＋2cos(α－β)，cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos2α 等应用时需灵活掌握．(6)利用公式可以将非特殊角的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值．利用公式可化简三角函数式，证明三角函数式，已知三角函数值求角等．2．常见的角的变换有哪些形式？提示：在解决求值一类问题时，常常需要用到将非特殊角转化为特殊角以及角的拆拼 、变换等技巧，使已知角与所求角之间具有某种关系：如 α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝(α＋)－＝…，α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(β＋α)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α，2α＝(α＋...