8．2.4 三角恒等变换的应用第 1 课时 半角公式[课程目标] 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．2．掌握半角公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．[填一填]1．半角公式sin＝±(S)；cos＝±(C)；tan＝±(T)．2．半角公式的推导在二倍角公式 cos2α＝1－2sin2α，cos2α＝2cos2α－1 中，用代替 α 得 cosα＝1－2sin2，cosα＝2cos2－1.由此得 cos＝±(C)，sin＝±(S)．上面两式的两边分别相除，可得tan＝±(T)．3．半角正切公式的有理形式根据正切函数的定义，得 tan＝＝，tan＝＝，由此得到半角正切公式的有理形式：tan＝，tan＝.[答一答]1．应用半角的正弦、余弦公式时应注意哪些问题？提示：(1)半角是相对于 α 而言的，＋＝2(＋)，即＋是＋的一半，α＋＝2(＋)＝4(＋)＝…，要正确理解倍角与半角的关系．(2)C，S 前的正负号是由所在的象限确定的，在没有给出决定符号的条件时，应在根号前保留正负两个符号；如果题目中给出角 α 的具体范围，则先求出所在的范围，然后再根据所在的范围确定符号．2．应用半角的正切公式时应注意哪些问题？提示：公式 tan＝不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与公式 tan＝±和 tan＝的使用范围不完全相同，后两个公式只要 α≠(2k＋1)π(k∈Z)，而第一个公式除 α≠(2k＋1)π(k∈Z)之外，还必须有 α≠2kπ(k∈Z)．当然，这三个式子可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用．C，S，T可以变形为 cos2＝，sin2＝，tan2＝，从左向右为降幂，从右向左为升幂．使用这些变形公式，可以进行角之间的转化，可以将三角函数的次数降低或升高，从而达到证明或化简的目的．3．怎样确定半角公式中根号前的正负号？提示：确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号原则：(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角 α 的具体范围(既某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围确定符号．(3)若给出的角 α 是某一象限的角时，则根据下表确定符号：αsincostan第一象限第一、三象限＋、－＋、－＋第二象限第一、三象限＋、－＋、－＋第三象限第二、四象限＋、－－、＋－第四象限第二、四象限＋、－－、＋－4.什么是万能公式？提示：sinα＝，cosα＝，tanα＝.类型一 三角函数式的求值 [例 1] 求下列各式的值：(1)tan＋；(2)·.[分析] 运用半角正切公式 t...
