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cn备课资料备用习题(2007 福建高考,理 18)如图 22，正三棱柱 ABC—A1B1C1的所有棱长都为 2,D 为 CC1中点
图 22（1）求证：AB1⊥平面 A1BD；（2）求二面角 AA1DB 的大小；（3）求点 C 到平面 A1BD 的距离
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力
（1）证明：如图 23,取 BC 中点 O，连接 AO
图 23ABC∵△为正三角形，AOBC
∴⊥∵在正三棱柱 ABC—A1B1C1中，平面 ABC⊥平面 BCC1B1，AO∴⊥平面 BCC1B1
连接 B1O，在正方形 BB1C1C 中，O、D 分别为 BC、CC1的中点，B∴1OBD
AB⊥∴1BD
⊥在正方形 ABB1A1中，AB1A⊥1B,AB∴1⊥平面 A1BD
（2）解：设 AB1与 A1B 交于点 G，在平面 A1BD 中，作 GFA⊥1D 于 F，连接 AF，由（1）,得AB1⊥平面 A1BD，AFA∴⊥1D
AFG∴∠为二面角 AA1DB 的平面角
在△AA1D 中，由等面积法可求得 AF=554,又∵AG= 21 AB1=2 ，sinAFG=∴∠4105542 AFAG
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cn∴二面角 AA1DB 的大小为 arcsin410
(3)解：在△A1BD 中，BD=A1D= 5 ，A1B=22，S∴A1BD△=6 ,S BCD△=1
在正三棱柱中，A1到平面 BCC1B1的距离为 3
设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d
由 VA1—BCD=VC—A1BD,得31 S BCD
