高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案

6.2.3 向量的数乘运算[目标] 1.记住向量数乘的定义及其规定；2.能够利用向量共线基本定理解决共线问题；3.记住向量数乘运算法则并能进行相关运算．[重点] 向量数乘的定义．[难点] 向量共线基本定理． 要点整合夯基础 知识点一 向量数乘的定义[填一填]一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ a ，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝| λ || a | ；(2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；λ＝0时，λa＝0.[答一答]1．数乘向量与数乘数有什么区别？提示：数乘向量与数乘数的区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数．2．－2a 与 a 有什么关系？提示：－2a 与 a 方向相反，－2a 的长度是 a 长度的 2 倍．知识点二 向量数乘的运算律[填一填]实数与向量的积的运算律中，结合律是 λ ( μ a ) ＝ ( λμ ) a ，它的几何意义是将表示向量 a 的 有向线段先伸长或压缩 | μ | 倍，再伸长或压缩 | λ | 倍，与直接将表示向量 a 的有向线段伸长或压 缩 | λμ | 倍所得结果相同 ．第一分配律是( λ ＋ μ ) a ＝ λ a ＋ μ a ，几何意义是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩 | λ | 倍后 ， 再与表示向量 a 的有向线段伸长或压缩 | μ | 倍后相加，与直接将表示向量 a 的有向线段伸长或 压缩 | λ ＋ μ | 倍所得结果相同 ．第二分配律是 λ ( a ＋ b ) ＝ λ a ＋ λ b ，几何意义是将表示向量 a 、 b 的有向线段先相加，再伸 长或压缩 | λ | 倍，与将表示向量 a 、 b 的有向线段先伸长或压缩 | λ | 倍，再相加所得结果相同 ．[答一答]3．向量数乘的运算律与实数乘法的运算律有什么不同？提示：向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa 和 λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．知识点三 向量共线基本定理[填一填]向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b ＝ λ a .[答一答]4．定理中条件 a≠0 能漏掉吗？提示：定理中 a≠0 不能漏掉．若 a＝b＝0，实数 λ 仍然存在，但 λ 是任意实数，不唯一；若 a＝0，b≠0，则不存在实数 λ，使 b＝λa.5．与非零向量...