6.2.4 向量的数量积第 1 课时 向量的数量积的概念[目标] 1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；2.知道向量的投影向量；3.记住数量积的几个重要性质．[重点] 向量夹角，数量积的含义及公式．[难点] 向量夹角，数量积的重要性质． 要点整合夯基础 知识点一 向量的夹角[填一填](1)已知两个非零向量 a 和 b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹角．(2)向量夹角 θ 的取值范围是 0 ≤ θ ≤ π ；当 θ＝0 时，a 与 b 同向；当 θ＝π 时，a 与 b 反向．(3)如果向量 a 与 b 的夹角是，我们说 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b .[答一答]1．零向量与向量 a 的夹角是多少呢？提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量 a 的夹角没有意义．2．等边三角形 ABC 中，向量AB与BC的夹角是 60°吗？提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形 ABC中，向量AB与BC的夹角是 120°而不是 60°.知识点二 向量数量积的定义[填一填](1)已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把数量| a || b |cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ.(2)零向量与任一向量的数量积为 0.[答一答]3．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：向量的数量积 a·b 是一个实数，数乘向量 λa 仍是一个向量．知识点三 投影向量[填一填]如图(1)，设 a，b 是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下的变换：过AB的起点 A 和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影，A1B1叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量；如图(2)，我们可以在平面内任取一点 O，作OM＝a，ON＝b，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则OM1就是向量 a 在向量 b 上的投影向量． [答一答]4．如图(2)，设与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为 θ，那么OM1与 e，a，θ之间有怎样的关系？提示：对于任意的 θ∈[0，π]，都有OM1＝|a|cosθe.知识点四 数量积的几个性质[填一填]设 a、b 是非零向量，它们的夹角是 θ，e 是与 b 方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝| a |cos θ .(2)a⊥b⇔a·b ＝ 0 .(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝| a || b | ；当 a 与 b 反向时...
