6.4 平面向量的应用6．4.1 平面几何中的向量方法[目标] 1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．[重点] 用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”．[难点] 如何将几何等实际问题化归为向量问题． 要点整合夯基础 知识点一 向量方法在几何中的应用[填一填]对于平面向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔b ＝ λ a ⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量 a，b，a⊥b⇔a · b ＝ 0 ⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cosθ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝或＝.[答一答]1．已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，a＝AB，如何用坐标表示 a 和|a|?提示：a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.知识点二 平面几何中的向量方法[填一填]用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．[答一答]2．用向量可以解决平面几何中的哪些问题？提示：(1)证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、向量共线定理．(2)证明线段垂直，可以用向量的数量积运算．(3)利用向量的数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积． 典例讲练破题型 类型一 利用向量证明平行或垂直问题[例 1] 如图所示，若四边形 ABCD 为平行四边形，EF∥AB，AE 与 BF 相交于点N，DE 与 CF 相交于点 M.求证：MN∥AD.[分析] 本题是求判定直线平行的问题，它可以转化为证明向量共线来解决．[证明] EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，设AB＝μEF(μ≠1)，则＝μ，AE＝(μ－1)EN，同理，由EF∥CD，可得DE＝(μ－1)EM，∴AD＝ED－EA＝AE－DE＝(μ－1)MN， μ≠1，令 λ＝μ－1，∴AD＝λMN，即 AD∥MN.[变式训练 1] 如图所示，四边形 ABCD 是菱形，AC 和 BD 是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.证明： AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD.类型二 利用向量解决长度和夹角问题 [例 2] 如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点 D 在线段 BC 上，且 BD＝DC.求：(1)AD 的长；(2)∠DAC ...
