4.3 指数函数与对数函数的关系学习目标1.知道同底的指数函数与对数函数互为反函数,能以它们为例对反函数进行解释和直观理解,从而达成抽象逻辑的核心素养.2.从观察图像到引出概念,培养学生观察、分析、探究问题的能力,数形结合思想的运用能力,提高由特殊到一般的归纳概括能力.从而达成数学抽象、数学运算的核心素养.3.引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系,并欣赏数形和谐的对称美.自主预习1.理解并掌握指数函数与对数函数的图像与性质.2.掌握同底数指数函数与对数函数的图像.3.数形结合,欣赏数形和谐的对称美.4.理解反函数的概念.知识梳理1.一般地,如果在函数 y=f(x)中,给定值域中任意一个 y 的值,只有唯一的 x 与之对应,那么 x 是 y 的函数,这个函数称为 y=f(x).2.一般地,函数 y=f(x)的反函数记作 y=f-1(x).y=f(x)的定义域与 y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与 y=f-1(x)的定义域相同,y=f(x)与 y=f-1(x)的图像关于直线 y=x 对称.3.如果 y=f(x)是单调函数,那么它的反函数也一定单调函数.如果 y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果 y=f(x)是减函数,则 y=f-1(x)也是减函数.课堂探究一、发现对称例 1 学生作图并判断函数 y=2x与 y=(12)x、函数 y=log2x 与 y=log12x 的对称关系.提出问题 1:两个函数图像关系如何?提出问题 2:函数 y=2x与 y=log2x 图像的关系?提出问题 3:观察两个对应值表,两组点的坐标,两组点的位置,两个函数图像之间各有什么关系?通过对比你得到什么结论?提出问题 4:关于直线 y=x 对称的两个点的坐标有什么关系?提出问题 5:根据函数 y=(12)x与 y=log12x 在同一坐标系内的图像,你又得到什么结论?二、解释对称分析函数 y=ax与 y=logax 的内在联系,并解释对称原因,要求学生自由讨论.【注】由形的发现转入数的分析,是数形结合思想的重要体现,运用已有知识解释新问题,提高思维的深度.总结:y=axx=logayy=logax要求学生思考:以上两步交换顺序是否可以,即 y=axx=ayy=logax强调:先互化后互换与先互换后互化都可以解释对称,但本质原因是 x,y 互换.结论:指数函数与对数函数的图像关于直线 y=x 对称.此时,指数函数叫做对数函数的反函数,对数函数也叫做指数函数的反函数.三、明确定义指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的,有大量的函数之间具有这样的关系,我们称它们互为反函数.1.反函数的定义:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的...
