2.3 离散型随机变量的均值与方差 1课堂探究探究一 求离散型随机变量的均值求离散型随机变量 ξ 的均值的步骤：(1)根据 ξ 的实际意义，写出 ξ 的全部取值；(2)求出 ξ 的每个值的概率；(3)写出 ξ 的分布列；(4)利用定义求出均值．【典型例题 1】从装有 2 个红球，2 个白球和 1 个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被抽到的可能性相同．若抽取后不放回，设取完红球所需的次数为 X，求 X 的分布列及期望．思路分析：先确定好抽取次数 X 的取值，再求出对应的概率，从而得到 X 的分布列及期望．解：由题意知 X 的取值为 2,3,4,5.当 X＝2 时，表示前 2 次取的都是红球，∴P(X＝2)＝＝；当 X＝3 时，表示前 2 次中取得一红球，一白球或黑球，第 3 次取红球，∴P(X＝3)＝＝；当 X＝4 时，表示前 3 次中取得一红球，2 个不是红球，第 4 次取红球，∴P(X＝4)＝＝；当 X＝5 时，表示前 4 次中取得一红球，3 个不是红球，第 5 次取红球，∴P(X＝5)＝＝.∴X 的分布列为X2345P∴数学期望 E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.规律总结 求离散型随机变量的均值时要验证分布列的所有概率之和是否为 1，并且真正理解每个随机变量所代表的事件．探究二 离散型随机变量的期望的性质若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ＝aX＋b(其中 a，b 为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b 求 E(ξ)．【典型例题 2】某市出租车的起步价为 6 元，行驶路程不超出 3 km 时，车费为 6 元，若行驶路程超出 3 km，则按每超出 1 km 收费 3 元计费．设出租车行车路程 X 是一个随机变量，司机所收车费为 Y(元)，则 Y＝3X－3.已知出租车在一天内行车路程可能取的值有(单位：km)200,220,240,260,280,300，它们出现的概率分别为 0.12,0.18,0.20,0.20，0.18，0.12.求出租车行驶一天所收车费的数学期望．思路分析：先求出 E(X)，再利用 E(Y)＝E(3X－3)求 E(Y)．解 ： E(Y) ＝ E(3X － 3) ＝ 3E(X) － 3 ＝ 3×(200×0.12 ＋ 220×0.18 ＋ 240×0.20 ＋260×0.20＋280×0.18＋300×0.12)－3＝3×250－3＝747.规律总结 本题利用公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，将求 E(Y)的问题转化为求 E(X)的问题，避免了求 Y 的分布列的麻烦．探究三 两点分布、二项分布的均值(1)如果随机变量 X 服从两点分布，则其期望值 E(X)＝P(P 为成功概率)．(2)如果随机变量 X ...
