高中数学7.备课资料素材（2.4.2　等比数列的基本性质及其应用）新人教版必修5

备课资料备用例题1.已知无穷数列5010,5110,5210 ,…, 5110n,….求证：(1)这个数列成等比数列；(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的101 ；(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.证明：(1)101101010154511nnnnaa (常数)，∴该数列成等比数列.(2)101101010154515nnnnaa,即：5101nnaa.(3)apaq=525151101010qpqp，∵p,q∈N，∴p+q≥2.p+q-1≥1∴且(p+q-1)∈N.∴5210qp∈5110n (第 p+q-1 项).2.设 a,b,c,d 均为非零实数，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,求证：a,b,c 成等比数列且公比为 d.证法一：关于 d 的二次方程(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0 有实根，Δ=4∴b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)≥0.-4(∴b2-ac)2≥0.-(∴ b2-ac)2≥0.则必有：b2-ac=0，即 b2=ac，∴a,b,c 成等比数列.设公比为 q，则 b=aq,c=aq2代入(a2+a2q2)d2-2aq(a+aq2)d+a2q2+a2q4=0.(q∵2+1)a2≠0，∴d2-2qd+q2=0，即 d=q≠0.证法二：∵(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,(∴ a2d2-2abd+b2)+(b2d2-2bcd+c2)=0.(∴ ad-b)2+(bd-c)2=0.∴ad=b，且 bd=c.∵a,b,c,d 非零，∴dbcabd.∴a,b,c 成等比数列且公比为 d.