高中数学7.备课资料素材（3.4.2　基本不等式 的应用（一））新人教版必修5

备课资料备用习题1.已知 a、b 是正实数，试比较 an+bn与 a n-1·b+abn-1的大小.解：an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).① 当 a＞b＞0 时，a-b＞0,a n-1-b n-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0;② 当 b＞a＞0 时，a-b＜0,a n-1-bn-1＜0,得（a-b）(a n-1-b n-1)＞0;③ 当 b=a＞0 时，（a-b）(an-1-bn-1)=0;所以当 a≠b 时，an+bn＞a n-1b+ab n-1;当 a=b 时,an+bn=a n-1b+ab n-1.2.已知△ABC 内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2，（1）求证:内角 C 为定值；（2）求△ABC 面积的最大值. （１）证明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)tan(1BA)(tanA+tanB)=0.(t anA+tanB)≠0,∴0)tan(11BA，即 tan(A+B)=1.C=135°.∴∠（2）解析：由题意,可得 S△ABC=21 AC×BCsinC=42 AC×BC≤42 (2BCAC )2.当AC=BC时，S△ABC有最大值，最大值为 S△ABC=42 (AC)2.再作辅助线如图，连结 OC、OA，OC 交 AB 于 D 得 ABOC⊥，所以 AD=BD=22 ,CD=1-22 ,AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以 S△ABC的最大值= 42 (AC)2=212－ .3.一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 x km/h 的速度匀速开往 400 km 处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于2)20x（km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？解析：设全部物资到达灾区所需时间为 t 小时，由题意可知 t 相当于：最后一辆车行驶了 25 个2)20x（ +400 km 所用的时间，因此，10400400252400)20(252xxxxxt. 当且仅当xx40040025,即 x=80 时取“=”.答：这些汽车以 80km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间是 10 小时.4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2 米的无盖长方体的沉淀箱，污水从 A孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比.现有制箱材料 60 平方米，问 a、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B 孔面积忽略不计)分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.解法一：设 y 为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知abky ,其中 k＞0 且 k 是比例系数.依题意要使...