圆锥曲线的一个统一性质———由一道高考题引发出的思考衡阳县第三中学 吴伟昌 题（2001 年全国·理）：设抛物线 y2=2px（p>0）的一个焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC∥x 轴。证明：直线 AC 经过原点 O。参考答案给出了如下的几何证法：证明：如图，记 x 轴与抛物线准线 l 的交点为 E，过 A 作 AD⊥l，D 是垂足．则 AD∥FE∥BC．连结 AC，与 EF 相交手点 N，则根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| 即点 N 是 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合，所以直线 AC 经过原点 O． 近几年，笔者在高三复习备考教学中，对该题的条件与结论进行一番探究，编拟如下一组命题，从而得到圆锥曲线的一个统一性质。命题 1 设椭圆的右焦点为 F，经过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，点 C 在椭圆的右准线 上，且 BC∥x 轴。证明：直线 AC 经过定点。证明：如图，记 x 轴与椭圆的右准线 l的交点为 E,过 A 作 AD⊥l，D 是垂足．则 AD∥FE∥BC．连结 AC，与 EF 相交于点 N，则根据椭圆的第二定义，即点 N 是 EF 的中点，∴直线 AC 经过 EF 的中点 N。用心 爱心 专心 115 号编辑XEAAACONFYDBADlNEXCOFYBA命题 2 设双曲线的右焦点为 F，经过点 F 的直线交双曲线右支于 A、B 两点，点 C 在椭圆的右准线 上，且 BC∥x 轴。证明：直线 AC 经过定点。证明：如图，记 x 轴与双曲线的右准线 l 的交点为 E，直线 AC 与 EF 交于点 N，过 A 作AD⊥l，D 是垂足．∵ AD∥FE∥BC∴ 根据双曲线的第二定义即 |AF|·|BC=||BF|·|AD| ∴ 点 N 是 EF 的中点，故 直线 AC 过定点（EF 的中点 N）。命题 3 设双曲线的右焦点为 F，经过点 F 的直线交双曲线左、右两支于 A、B 两点，点 C 在椭圆的右准线 上，且 BC∥x 轴。证明：直线 AC 经过定点。证明：如图，记 x 轴与双曲线的右准线 l 的交点为 E，直线 AC 与 EF 交于点 N，过 A 作 AD⊥l，D 是垂足．∵ AD∥FE∥BC∴ 根据双曲线的第二定义即 |AF|·|BC=||BF|·|AD| ∴ 点 N 是 EF 的中点，故 直线 AC 过定点（EF 的中点 N）。 用心 爱心 专心 115 号编辑XEAAACONFDBAlYXEAAACONFDBAlYXEAAACONFDBAlY由此可见，这个直线过定点问题具有普遍性质，不是某一类圆锥曲线所特有的性质，而是圆锥曲线的一个统一性质。现将圆锥曲线这一个统一的性质归纳概括成如下定理：定理 过圆锥曲线的焦点的直线交圆锥曲线于 A、B 两点，点 C 在相应的准线 l 上，且BC⊥l ，则直线 AC 过定点。用心 爱心 专心 115 号编辑XEAAACONFDBAlY
