高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧

不等式恒成立问题中的参数求解技巧 在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。例 1 对于 x∈R，不等式0m3x2x 2恒成立，求实数 m 的取值范围。解：不妨设m3x2x)x(f2，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使)Rx(0)x(f，只需0，即0)m3(4)2(2，解得]2(m2m，。变形：若对于 x∈R，不等式03mx2mx 2恒成立，求实数 m 的取值范围。此题需要对 m 的取值进行讨论，设3mx2mx)x(f2。①当 m=0 时，3>0，显然成立。②当 m>0 时，则△<03m0。③当 m<0 时，显然不等式不恒成立。由①②③知)30[m，。关 键 点 拨 ： 对 于 有 关 二 次 不 等 式0cbxax 2（ 或 <0 ） 的 问 题 ， 可 设 函 数cbxax)x(f2，由 a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与 x 轴的交点问题，由判别式进行解决。例 2 已知函数2kx2x)x(f2，在1x时恒有k)x(f ，求实数 k 的取值范围。解：令k2kx2xk)x(f)x(F2，则0)x(F 对一切1x恒成立，而)x(F是开口向上的抛物线。① 当图象与 x 轴无交点满足△<0，即0)k2(4k42，解得－2