导数定义及其几何意义复习纲要及典例分析一．考纲要求：了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。 二、基础知识归纳：导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。本期对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．刻画函数（比初等方法精确细微）；2．同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；3．曲线的切线 在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图 3—1 中的曲线 C 是我们熟知的正弦曲线 y=sinx．直线1l 与曲线 C 有惟一公共点 M，但我们不能说直线1l 与曲线 C 相切；而直线2l 尽管与曲线 C 有不止一个公共点，我们还是说直线2l 是曲线 C 在点 N 处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线． 4．瞬时速度 在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 5．导数的定义 导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据． 对导数的定义，我们应注意以下三点： (1)△x 是自变量 x 在 0x 处的增量(或改变量)． (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0 时，xy有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到 f(x)在点0x 处的导数． (3)如果函数 y=f(x)在点0x 处可导，那么函数 y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数 y=|x|在点 x=0 处连续，但不可导． 由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (1)求函数的增量)()(00xfxxfy； (2)求平均变化率xxfxxfxy)()(00； (3)取极限，得导数xyxfx00lim)('。 6．导数的...
