高中数学素材：函数专题赏析

函数专题赏析1 已知函数( )1lnf xxax （ aR ） （Ⅰ）求( )f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：ln1xx 解：（Ⅰ）函数( )f x 的定义域为(0 ,)  ，且121( )2121axa xf xxxx x① 若0a  ，则( )0fx在(0 ,)  上恒成立；② 若0a ，则222220( )021221440xfxxa xxaaaxa xa ，222220( )0210221440xfxxa xxaaaxa xa ，综上所述，有下面结论：若0a  ，则( )f x 在(0 ,)  内单调递增；若0a ，则( )f x 在22(0 , 221)aaa内单调递减，而在22(221,)aaa  内单调递增 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：函数( )1lng xxx 在 (0 , 22 2)内单调递减，而在(22 2 ,)  内单调递增，故当0x 时，有2min( )( )(22 2)32 2ln(22 2)(12)ln210g xg xge，故有1lnxx ，即ln1xx 2 已知 f(x)=log2(x+m),m∈R（1）如果 f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求 m 的值；（2）如果 a,b,c 是两两不等的正数，且 a,b,c 依次成等比数列，试判断 f(a)+f(c)与 2f(b)的大小关系，并证明你的结论 解（1） f(1),f(2),f(4)成等差数列，∴f(1)+f(4)=2f(2) 即 log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2 ∴(m+1)(m+4)=(m+2)2即 m2+5m+4=m2+4m+4 ∴m=0(2) f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)],2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2, a,b,c 成等比数列， ∴acb 2 (a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2用心 爱心 专心=ac+m(a+c)-b2-2bm=m(a+c)-2mac a>0,c>0 ∴a+c≥2ac①m>0 时，(a+m)(c+m)-(b+m)2>0, ∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2 b ∴f(a)+f(c)>2f(b);②m<0 时，(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,∴log2[(a+m)(c+m)]