高考数学知识模块复习指导系列学案——数列、极限、数学归纳法【II】【例题解析】例 1 完成下列各选择题（1）“公差为 0 的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c 三数成等比数列的充要条件是 b2=ac”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个（2）命题 1：若数列{an}的前 n 项和 Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；命题 2：若数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn+c(a≠0)，则数列{an}是等差数列；命题 3：若数列{an}的前 n 项和 Sn=na－n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个（3）设{an}是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ）A.1B.2C.4D.6解析 （1）四个命题中只有最后一个是真命题。命题 1 中未考虑各项都为 0 的等差数列不是等比数列；命题 2 中可知 an+1=an×，an+1
an，即an+1>an，此时该数列为递增数列；命题 3 中，若 a=b=0，c∈R，此时有，但数列 a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为 b=，则成为不必要也不充分条件。（2）上述三个命题均涉及到 Sn与 an的关系，它们是 an=正确判断数列{an}是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择 A。由命题 1 得，a1=a+b，当 n≥2 时，an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比数列，则=a，即=a，所以只有当 b=－1 且 a≠0 时，此数列才是等比数列。由命题 2 得，a1=a+b+c，当 n≥2 时，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差数列，则 a2－a1=2a，即 2a－c=2a，所以只有当 c=0 时，数列{an}才是等差数列。由命题 3 得，a1=a－1，当 n≥2 时，an=Sn－Sn－1=a－1，显然{an}是一个常数列，即公差为0 的等差数列，因此只有当 a－1≠0；即 a≠1 时数列{an}才又是等比数列。（3）方程法：设{an}的首项为 a1，公差为 d。则解之得或又 {an}是递增数列，∴d>0 故 a1=2。习惯上可设前三项分别为 4－d,4,4+d 由 4(4－d)(4+d)=48 解得。估值法：由 2+4+6=12，48=2×4×6，{an}为递增数列可知 a1=2。例 2 在数列{an}中,a1=b(b≠0)，前 n 项和 Sn构成公比为 q 的等比数列。（1）求证：数列{...
