帕斯卡与前 n 个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B
19～1662
19）想出了一个新的很妙的方法能求出前 n 个自然数的平方和
这个方法是这样的：利用和的立方公式,我们有(n＋1）3＝n3＋3n2＋3n＋1,移项可得（n＋1）3 －n3＝3n2＋3n＋1，此式对于任何自然数 n 都成立
依次把 n＝1，2,3，…，n－1，n 代入上式可得23 －13＝3•12＋3•1＋1，33 －23＝3•22＋3•2＋1，43 －33＝3•32＋3•3＋1，……………………………n3－（n－1)3＝3（n－1）2＋3(n－1)＋1，（n＋1)3 －n3＝3n2＋3n＋1，把这 n 个等式的左边与右边对应相加，则 n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n＋1)3 －1；而 n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加,提取公因数后,第一列出现我们所要计算的前 n 个自然数的平方和,第二列出现我们在上一段已经算过的前 n 个自然数的和，第三列是 n 个 1
因而我们得到（n＋1)3 －1＝3Sn＋＋n，现在这里 Sn＝12＋22＋…＋n2
对这个结果进行恒等变形可得n3＋3n2＋3n＝3Sn＋＋n,2n3＋6n2＋6n＝6Sn＋3n2＋3n＋2n移项、合并同类项可得6Sn＝2n3＋3n2＋n＝n（n＋1）（2n＋1），∴Sn＝n（n＋1)(2n＋1），即12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）(2n＋1）
这个方法把所要计算的前 n 个自然数的平方和与已知的前 n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来,然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的
前 n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前 n 个连续自然数的平方和：的证明方法很多，这里不再一一列举了
为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子
