帕斯卡与前 n 个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B。,1623.6.19～1662。8。19）想出了一个新的很妙的方法能求出前 n 个自然数的平方和.这个方法是这样的：利用和的立方公式,我们有(n＋1）3＝n3＋3n2＋3n＋1,移项可得（n＋1）3 －n3＝3n2＋3n＋1，此式对于任何自然数 n 都成立。依次把 n＝1，2,3，…，n－1，n 代入上式可得23 －13＝3•12＋3•1＋1，33 －23＝3•22＋3•2＋1，43 －33＝3•32＋3•3＋1，……………………………n3－（n－1)3＝3（n－1）2＋3(n－1)＋1，（n＋1)3 －n3＝3n2＋3n＋1，把这 n 个等式的左边与右边对应相加，则 n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n＋1)3 －1；而 n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加,提取公因数后,第一列出现我们所要计算的前 n 个自然数的平方和,第二列出现我们在上一段已经算过的前 n 个自然数的和，第三列是 n 个 1。因而我们得到（n＋1)3 －1＝3Sn＋＋n，现在这里 Sn＝12＋22＋…＋n2。对这个结果进行恒等变形可得n3＋3n2＋3n＝3Sn＋＋n,2n3＋6n2＋6n＝6Sn＋3n2＋3n＋2n移项、合并同类项可得6Sn＝2n3＋3n2＋n＝n（n＋1）（2n＋1），∴Sn＝n（n＋1)(2n＋1），即12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）(2n＋1）。这个方法把所要计算的前 n 个自然数的平方和与已知的前 n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来,然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。前 n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前 n 个连续自然数的平方和：的证明方法很多，这里不再一一列举了。为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好.我们先来计算：=1×1+2×2+3×3,即 1 个 1 与 2 个 2 与 3 个 3 的和.为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表①： 12 2 ① 3 3 3把这个等边三角形数表顺时针旋转 120 度得到数表②: 33 2 ② 3 2 1 再把数表②顺时针旋转 120 度得到数表③： 32 3 ③ 1 2 3观察①、②、③三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？不难发现：最顶层的三个数字是：1、3、3;第二行左侧三个数字是：2、3、2；第二行右侧三个数字是：2、2、3；第三行最左侧三个数字是：3、3、1；第三行中间三个数字是：3、2、2;第三行最右侧三个数字是:3、1、3.通过简单地计算发现,上面每一组数字之和都是 ...
