第四章 图形的认识§4.3 等腰三角形与直角三角形中考数学 ( 安徽专用 )A 组 2014—2018 年安徽中考题组五年中考1.(2016 安徽 ,10,4 分 ) 如图 ,Rt△ABC 中 ,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P 是△ ABC 内部的一个动点 , 且满足∠ PAB=∠PBC. 则线段 CP 长的最小值为 ( ) A. B.2C. D. 328 131312 1313思路分析 由∠ PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°, 可得∠ P=90°, 取 AB 的中点 O, 则 OP= AB=3为定值 , 所以 O,P,C 三点共线时 CP 的长最小 .12答案 B ∠ PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°. 设 AB的中点为 O, 则 P 在以 AB 为直径的圆上 . 当点 O,P,C 三点共线时 , 线段 CP 最短 , OB= AB=3,BC=4,∴OC= =5, 又 OP= AB=3,∴ 线段 CP 长的最小值为 5-3=2, 故选 B.12223412解题关键 想到 P 在以 AB 为直径的圆上运动 , 由此将问题转化为 O,P,C 三点的共线问题是解题的关键 .2.(2018 安徽 ,23,14 分 ) 如图 1,Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°. 点 D 为边 AC 上一点 ,DE⊥AB 于点 E. 点M 为BD 的中点 ,CM 的延长线交 AB 于点 F.(1) 求证 :CM=EM;(2) 若∠ BAC=50°, 求∠ EMF 的大小 ;(3) 如图 2, 若△ DAE≌△CEM, 点 N 为 CM 的中点 . 求证 :AN∥EM. 图 1 图 2解析 (1) 证明 : 由已知 , 在 Rt△BCD 中 ,∠BCD=90°,M 为斜边 BD 的中点 ,∴CM= BD.又 DE⊥AB, 同理 ,EM= BD,∴CM=EM. (4 分 )(2) 由已知得 ,∠CBA=90°-50°=40°.又由 (1) 知 CM=BM=EM,∴∠CME=∠CMD+∠DME=2(∠CBM+∠EBM)=2∠CBA=2×40°=80°,∴∠EMF=180°-∠CME=100°. (9 分 )(3) 证明 : △DAE≌△CEM,∴∠CME=∠DEA=90°,DE=CM,AE=EM.又 CM=DM=EM,∴DM=DE=EM,∴△DEM 是等边三角形 ,∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°.证法一 : 在 Rt△EMF 中 ,∠EMF=90°,∠MEF=30°,1212∴ = ,又 NM= CM= EM= AE,∴FN=FM+NM= EF+ AE= (AE+EF)= AF.∴ = = .又 ∠ AFN=∠EFM,∴△AFN∽△EFM,∴∠NAF=∠MEF,∴AN∥EM. (14 分 )证法二 : 连接 AM, 则∠ EAM=∠EMA= ∠MEF=15°,MFEF1212121212121212MFEFFNAF1212∴∠AMC=∠EMC-∠EMA=75°,①又∠ CMD=∠EMC-∠EMD=30°, 且 MC=MD,∴∠ACM= ×(180°-30°)=75°.②由①②可知 AC=AM, 又 N 为 CM 的中点 ,∴AN⊥CM, 又 EM...
