热点专题解读第二部分 专题二 函数图象问题题型二 二次函数的图象与系数的关系• 熟记二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 图象与系数的关系，直接解题．• (1) 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小．当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下； |a| 还可以决定开口大小， |a| 越大开口就越小；• (2) 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 . 当 a 与 b同号时 ( 即 ab ＞ 0) ，对称轴在 y 轴左侧； 当 a 与 b 异号时 ( 即 ab＜ 0) ，对称轴在 y 轴右侧 ( 简称：左同右异 ) ；常考题型 · 精讲• (3) 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置 . 抛物线与 y 轴交于点(0 ， c) ；• (4) 抛物线与 x 轴交点个数．当 Δ ＝ b2 － 4ac ＞ 0 时，抛物线与 x轴有两个不同交点；• 当 Δ ＝ b2 － 4ac ＝ 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；• 当 Δ ＝ b2 － 4ac ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 例4 (2018·衡阳)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点A(－1,0)，顶点坐标(1，n)，与 y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a＋b＜0；②－1≤a≤－23；③对于任意实数m，a＋b≥am2＋bm 总成立；④关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝n－1 有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D 【解答】 ∵抛物线开口向下，∴a＜0. 而抛物线的对称轴为直线 x＝－ b2a＝1，即 b＝－2a， ∴3a＋b＝3a－2a＝a＜0，∴①正确； ∵2≤c≤3，而 c＝b－a＝－3a， ∴2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－23，∴②正确； • ∵ 抛物线的顶点坐标为 (1 ， n) ，• ∴ 当 x ＝ 1 时，二次函数有最大值 n ，• ∴a ＋ b ＋ c≥am2 ＋ bm ＋ c ，• 即 a ＋ b≥am2 ＋ bm ，∴③正确；• ∵ 抛物线的顶点坐标为 (1 ， n) ，• ∴ 抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 与直线 y ＝ n － 1 有两个交点，• ∴ 关于 x 的方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ n － 1 有两个不相等的实数根，• ∴④ 正确．• ☞ 解题步骤• 第一步：利用抛物线开口方向可得 a ＜ 0 ，再由抛物线的对称轴直线可得 b ＝－ 2a ，即可判断；• 第二步：由 c 的取值范围和 c ＝－ 3a 即可判断；• 第三步：由二次函数的性质即可判断；• 第四步：由抛物线的顶点坐标可得抛物线与直线有两个交点，则关于 x的方程有两个不相等的实数根 .
