热点专题解读第二部分 专题三 图形的变换题型二 图形变换的相关计算• 平移变换前后的图形是全等图形，在解决此类问题时主要依据全等图形的性质，另在平移变换时每个顶点的平移距离是相等的，这也是解题的一个重要依据． 常考题型 · 精讲类型 1 平移变换及相关计算 例2 (2018·宜宾)如图，将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4.若 AA′＝1，则 A′D 等于 ( ) A．2 B．3 C．23 D．32 A 答图 【解答】 如答图，∵S△ABC＝9，S△A′EF＝4，且 AD 为 BC 边的中线， ∴S△A′DE＝12S△A′EF＝2，S△ABD＝12S△ABC＝92. ∵将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到△A′B′C′， ∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则( A′DAD )2＝S△A′DES△ABD ， 即( A′DA′D＋1)2＝292，解得 A′D＝2 或 A′D＝－25(舍去)． • ☞ 思路点拨• 要求 A′D 的长，观察可知， A′D 在△ DA′E 中，由平移的性质可得△ DA′E∽△DAB ，结合 AD 是 BC 边上的中线及△ ABC 和阴影部分三角形的面积即可分别求得△ DA′E 和△ DAB 的面积，结合 AA′ ＝ 1 ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．• 图形的旋转在设题时常结合特殊四边形，相似三角形，勾股定理等一起命题，有一定的综合性．解决此类问题首先要掌握旋转的性质，在旋转一定角度后一般会得到相关的特殊图形或特殊的图形关系 ( 如相似 ) ，再通过相似、全等或解直角三角形等性质和有关计算解决问题． 类型 2 旋转变换及其相关计算例3 (2018·枣庄)如图，在正方形 ABCD 中，AD＝2 3，把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30°得到线段 BP，连接 AP 并延长交 CD 于点 E，连接 PC，则三角形 PCE 的面积为____________. 9－5 3 答图 【解答】 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90°. ∵把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30°得到线段 BP， ∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°， ∴△ABP 是等边三角形，∴∠BAP＝60°，AP＝AB＝2 3. ∵AD＝2 3，∴AE＝4，DE＝2，∴CE＝2 3－2，PE＝4－2 3. 如答图，过点 P 作 PF⊥CD 于点 F，则 PF＝ 32 PE＝2 3－3， ∴S△PCE＝12CE·PF＝12×(2 3－2)×(2 3－3)＝9－5 3. • ☞ 思路点拨• 要求三角形 PCE 的面积需要求得 EC 和 EC 边上的高，即作 PF⊥CD. 要求 EC 的长，已知 AB 的长，求得 DE 的长即可．由旋转的性质及旋转角的度数可得△ ABP 为等边三角形 . 在 Rt△ADE 中，结合特殊角的三角函数值即可得 DE 和 AE 的长，进而可得 EP 的长度 . 在Rt△EPF 中，结合特殊角的三角函数值即可得 PF 的长，三角形 PCE的面积即可求得．
