附录 A 线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结
把包含未知函数和它的 j 阶导数的方程称为常微分方程
线性常微分方程的标准形式 （A
1）其中 n 称为方程的阶数，和是给定的函数
可微函数在区间 I 上满足方程（A
1），则称其为常微分方程（A
1）在 I 上的一个解
，称为方程（A
1）的自由项，当自由项时方程（A
1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程
一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解
在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识
1 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程表示为
2）当，方程退化为 , （A
3）假设不恒等于零，则上式等价于1而，从而（A
3）的通解为 （ A
4）对于非齐次一阶线性常微分方程（A
2），在其两端同乘以函数注意到上面等式的左端因此有两端积分其中 C 是任意常数
进一步有 综上有如下结论定理 A
1 假设上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A
1）的通解具有如下形式 （A
5）2其中 C 是任意常数
4）式和（A
5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A
1）的解等于 一 阶 线 性 齐 次 常 微 分 方 程 （ A
2 ） 的 通 解加 上 函 数
容易验证，是方程（A
1）的一个特解
这符合线性方程解的结构规律
例 1 求解一阶常微分方程解 此时,由（A
5）式，解为其中 C 是任意常数
2 二阶线性常微分方程将具有以下形式的方程 ， （A
6）称为二阶线性常微分方程，其中都是变量 x 的已知连续函数
7）为与（A
6）相伴的齐次方程
