1 利用直角坐标系计算1
1 积分区域为 X 型或 Y 型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数在积分区域上连续时，若为型区域（如图 1），即，其中在上连续，则有； （1）若为型区域（如图 2），即，其中在上连续，则有．[1] （2）例1 计算，其中是由，，及所围成． 分析 积分区域如图 3 所示，为型区域．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解 积分区域为型区域则 1yy=xxy=1D2D1xO2112图 3图 11
2 积分区域非 X 型或 Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的型或型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干型或型区域，然后利用公式 （3）进行计算，例 2 计算二重积分，其中为直线及所围成的区域．分析：积分区域如图 5 所示，区域既不是型区域也不是型区域，但是将可划分为均为型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 划分为，则 1
3 被积函数较为复杂时二重积分的计算23Doxy1D2D图 4yxOx=2yy=2xx+y=3图 5二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例 3 计算二重积分，其中为区域，．分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为，两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．解 区域如图 6 可分为，其中，由公式（3）则2 利用变量变换法计算定理 1 设在有界区域上可积，变换，，将平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地
