64位以内Rabin-Miller强伪素数测试和Pollard因数分解算法的实现在求解POJ1811题PrimeTest中应用到的两个重要算法是Rabin-Miller强伪素数测试和Pollard因数分解算法。前者可以在的时间内以很高的成功概率判断一个整数是否是素数。后者可以在最优的时间内完成合数的因数分解。这两种算法相对于试除法都显得比较复杂。本文试图对这两者进行简单的阐述，说明它们在32位计算机上限制在64位以内的条件下的实现中的细节。下文提到的所有字母均表示整数。一、Rabin-Miller强伪素数测试Rabin-Miller强伪素数测试的基本思想来源于如下的Fermat小定理：如果p是一个素数，则对任意a有。特别的，如果p不能整除a，则还有。利用Fermat小定理可以得到一个测试合数的有力算法：对，选择，计算，若结果不等于1则n是合数。若结果等于1则n可能是素数，并被称为一个以a为基的弱可能素数（weakprobableprimebasea，a-PRP）;若n是合数，则又被称为一个以a为基的伪素数（pseudoprime）。这个算法的成功率是相当高的。在小于25,000,000,000的1,091,987,405个素数中，一共只用21,853个以2为基的伪素数。但不幸的是，Alford、Granville和Pomerance在1994年证明了存在无穷多个被称为Carmichael数的整数对于任意与其互素的整数a算法的计算结果都是1。最小的五个Carmichael数是561、1,105、1,729、2,465和2,801。考虑素数的这样一个性质：若n是素数，则1对模n的平方根只可能是1和。因此对模n的平方根也只可能是1和。如果本身还是一个偶数，我们可以再取一次平方根……将这些写成一个算法：（Rabin-Miller强伪素数测试）记，其中d是奇数而s非负。如果，或者对某个有，则认为n通过测试，并称之为一个以a为基的强可能素数（strongprobableprimebasea，a-SPRP）。若n是合数，则又称之为一个以a为基的强伪素数（strongpseudoprime）。这个测试同时被冠以Miller的名字是因为Miller提出并证明了如下测试：如果扩展黎曼猜想（extendedRiemannhypothesis）成立，那么对于所有满足的基a，n都是a-SPRP，则n是素数。尽管Monier和Rabin在1980年证明了这个测试的错误概率（即合数通过测试的概率）不超过，单个测试相对来说还是相当弱的（Pomerance、Selfridge和Wagstaff,Jr.证明了对任意都存在无穷多个a-SPRP）。但由于不存在“强Carmichael数”（任何合数n都存在一个基a试之不是a-SPRP），我们可以组合多个测试来产生有力的测试，以至于对足够小的n可以用来证明其是否素数。取前k个素数为基，并用来表示以前k个素数为基的强伪素数，Riesel在1994年给出下表：考虑到64位二进制数能表示的范围，只需取前9个素数为基，则对小于的所有大于1的整数测试都是正确的；对大于或等于并小于的整数测试错误的概率不超过。Rabin-Miller强伪素数测试本身的形式稍有一些复杂，在实现时可以下面的简单形式代替：对，如果则认为n通过测试。代替的理由可简单证明如下：仍然记，其中d是奇数而s非负。若n是素数，由可以推出或。若为前者，显然取即可使n通过测试。若为后者，则继续取平方根，直到对某个有，或。无论还是，n都通过测试。functionpowermod(a,s,n){p:=1b:=awhiles>0{if(s&1)==1thenp:=p*b%nb:=b*b%ns:=s>>1}returnp}functionmul64to128(a,b){{ah,al}:={a>>32,a&0xffffffff}{bh,bl}:={b>>32,b&0xffffffff}Rabin-Miller强伪素数测试的核心是幂取模（即计算）。计算幂取模有以下的算法（以Sprache伪代码语言描述）：这个算法在32位计算机上实现的难点在于指令集和绝大部分编程语言的编译器都只提供了32位相乘结果为64位的整数乘法，浮点运算由于精度的问题不能应用于这里的乘法。唯一解决办法是模仿一些编译器内建的64位整数乘法来实现两个无符号64位相乘结果为128位的乘法。这个乘法可以将两个乘数分别分割成两个32位数来实现。为方便乘法之后的取模运算，运算结果应当用连续的128个二进制位来表示。以下是其伪代码：rl:=al*blc:=al*bhrh:=c>>32c:=c<<32rl:=rl+cifrl>32)c:=c<<32rl:=rl+cifrl
