第七节抛物线A组基础题组1.以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是()A.y=4x2B.y=8x2C.y2=4xD.y2=8x2.(2017北京西城二模)若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2,则a=()A.±1B.±2C.±4D.±83.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.84.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-25.(2016北京西城期末)若抛物线C:y2=2px的焦点在直线x+y-3=0上,则实数p=;抛物线C的准线方程为.6.(2017北京朝阳二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F.设两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则点P的横坐标是;该双曲线的渐近线方程为.7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.8.已知圆C过定点F,且与直线x=相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A,B两点.(1)求曲线E的方程;(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.B组提升题组9.(2015北京延庆期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线C上的点A作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为原点)的面积之比为3∶1,则点A的坐标为()A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,±)D.(2,±2)10.设F为抛物线y2=2x的焦点,A、B、C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则||+||+||的值为()A.1B.2C.3D.411.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.212.(2016北京海淀期末)已知点A(5,0),抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线C上.若点F恰好在PA的垂直平分线上,则PA的长度为()A.2B.2C.3D.413.(2017北京东城期末)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于3,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在14.(2016北京海淀二模)如图,抛物线W:y2=4x与圆C:(x-1)2+y2=25交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q,则△PQC的周长的取值范围是()A.(10,14)B.(12,14)C.(10,12)D.(9,11)15.经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,如果A,B在抛物线C的准线上的射影分别为A1,B1,那么∠A1FB1=.16.如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.D设抛物线的方程为y2=2px,则由抛物线的定义知1+=3,即p=4,所以抛物线方程为y2=8x.2.C y2=ax,∴2p=|a|,又 焦点到准线的距离为2,∴p=2,∴|a|=4.∴a=±4,故选C.3.B不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2),则x1==,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4(舍负).故选B.4.C由题意可知焦点为,∴直线AB的方程为y=-,与抛物线方程联立得消去y得4x2-12px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p. 线段AB的中点的横坐标为3,∴=3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.5.答案6;x=-3解析抛物线C:y2=2px的焦点坐标是,由题意得+0-3=0,解得p=6,故抛物线C的准线方程为x=-3.6.答案3;y=±x解析由抛物线定义可得,点P到抛物线的准线x=-2的距离与到焦点F(2,0)的距离相等,为5,故点P的横坐标为3,可得P(3,±2).将点P的坐标代入双曲线方程得-=1,由题意知双曲线的一个焦点坐标为(2,0),即c=2,∴a2+b2=4,解得a=1,b=,∴双曲线渐近线方程为y=±x=±x.7.解析(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).又 F(1,0),∴kFA=. MN⊥FA,∴kMN=-,∴FA的方程为y=(x-1),①MN的方程为y=-x+2,②由①②联立得x=,y=,∴N的坐标为.8.解析(1)设圆心C的坐标为(x,y),由题意,知圆心C到定点F和直线x=的距离相等,故圆心C的轨迹E的方程为y2=-x.(2)由方程组消去x,并整理得ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y...
