第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1.(2017北京丰台二模,5)已知向量a=,b=(,-1),则a,b的夹角为()A.B.C.D.2.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2017北京西城二模,6)设a,b是平面上的两个单位向量,a·b=.若m∈R,则|a+mb|的最小值是()A.B.C.D.4.已知向量a=,b=(-,1),c=a+λb,则c·a等于()A.λB.-λC.1D.-15.已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则·+·+·=()A.48B.-48C.100D.-1006.(2017北京朝阳二模,10)若平面向量a=(cosθ,sinθ),b=(1,-1),且a⊥b,则sin2θ的值是.7.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.8.(2018北京海淀期中,12)已知△ABC是边长为2的正三角形,O,D分别为边AB,BC的中点,则①·=;②若=x+y,则x+y=.9.如图,已知O为坐标原点,向量=(3cosx,3sinx),=(3cosx,sinx),=(,0),x∈.(1)求证:(-)⊥;(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.B组提升题组10.(2017北京顺义二模,3)已知向量=(1,),=(-1,),则∠BAC=()A.30°B.45°C.60°D.120°11.(2017北京朝阳期中)已知三角形ABC外接圆O的半径为1(O为圆心),且2++=0,||=2||,则·等于()A.-B.-C.D.12.如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=2AE,CF=2BF.如果对于常数λ,在正方形ABCD的四条边上,有且只有6个不同的点P使得·=λ成立,那么λ的取值范围是()A.(0,7)B.(4,7)C.(0,4)D.(-5,16)13.已知非零向量a,b满足|b|=1,a与b-a的夹角为120°,求|a|的取值范围是.14.(2017北京朝阳一模,13)如图,△AB1C1,△C1B2C2,△C2B3C3是三个边长为2的等边三角形,且有一条边在同一条直线上,边B3C3上有2个不同的点P1,P2,则·(+)=.15.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=,n=,且m与n的夹角为.(1)求角C;(2)已知c=,S△ABC=,求a+b的值.答案精解精析A组基础题组1.B由题意可得cos
====,∴a,b的夹角为,故选B.2.D当|a|=|b|=0时,|a|=|b|⇔|a+b|=|a-b|.当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0⇔a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出a⊥b.故选D.3.C由题意得|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=m2+m+1=+,故当m=-时,|a+mb|2取得最小值,即|a+mb|取得最小值,故选C.4.C因为a=,b=(-,1),所以b·a=0.因为c=a+λb,所以c·a=a2+λb·a=a2=+=1,故选C.5.D∵||2+||2=||2,∴AB⊥AC,∴·=0,∴·+·+·=·(+)=·=-=-100.故选D.6.答案1解析由a⊥b得a·b=0,因为a=(cosθ,sinθ),b=(1,-1),所以a·b=cosθ-sinθ=0,所以(cosθ-sinθ)2=cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=0,所以sin2θ=2sinθ·cosθ=sin2θ+cos2θ=1.7.答案2解析由题意知a·b=|a|·|b|cos60°=2×1×=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.8.答案3;解析①·=×2×cos30°=×2×=3.②∵=+=-++=-++-=-+2,又=x+y,∴x=-,y=2,∴x+y=.9.解析(1)证明:∵-=(0,2sinx),∴(-)·=0×+2sinx×0=0,∴(-)⊥.(2)△ABC是等腰三角形,则AB=BC,∴(2sinx)2=(3cosx-)2+sin2x,整理得2cos2x-cosx=0,解得cosx=0或cosx=.∵x∈,∴cosx=,∴x=.B组提升题组10.C∵cos∠BAC===,∴∠BAC=60°,故选C.11.A∵三角形ABC外接圆O的半径为1(O为圆心),2++=0,∴+=0,∴O为BC的中点,△ABC是直角三角形,∠A为直角.又||=2||,∴||=,||=2,∴||=,∴cosC===,∴·=-·=-×2×=-.故选A.12.C以D为原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图,则E(0,4),F(6,4).(1)若P在CD上,设P(x,0)(0≤x≤6),则=(-x,4),=(6-x,4),∴·=x2-6x+16,∵x∈[0,6],∴7≤·≤16.易知当λ=7时,对应的点P有一个,当7<λ≤16时,对应的点P有两个.(2)若P在AD上,设P(0,y)(0≤y≤6),则=(0,4-y),=(6,4-y),∴·=(4-y)2=y2-8y+16,∵0≤y≤6,∴0≤·≤16.易知当λ=0或4<λ≤16时,对应的点P有一个,当0<λ≤4时,对应的点P有两个.(3)若P在AB上,设P(x,6)(0≤x≤6),则=(-x,-2),=(6-x,-2),∴·=x2-6x+4,∵0≤x≤6,∴-5≤·≤4.易知当λ=-5时,对应的点P有一个,当-5<λ≤2时,对应的点P有两个.(4)若P在BC上,设P(6,y)(0≤y≤6),则=(-6,4-y),=(0,4-y),∴·=(4-y)2=y2-8y+16,∵0≤y≤6,∴0≤·≤16.易知当λ=0或4<λ≤16时,对应的点P有一个,当0<λ≤4时,对应的点P有两个.综上,可知0<λ<4.故选C.13.答案解析如图,设=a,=b,则b-a=-=,因为a与b-a的夹角为120°,所以∠OAB=60°,由正弦定理知=,所以|a|=·sin∠OBA,又因为0°<∠OBA<120°,所以|a|的取值范围是.14.答案36解析如图,延长C3B3,与AB2的延长线交于点D,易知⊥,则||=3,||=2,所以·=||·||cos∠DAP1=||·||=2×3=18,同理,·=18,所以·(+)=·+·=36.15.解析(1)因为向量m=,n=,所以m·n=cos2-sin2,|m|==1,|n|==1,又m与n的夹角为,所以cos==cos2-sin2=cosC=,因为0
