二、跳出题海——名师绝招破解13大难点难点1高考中的两类抽象函数问题1.巧用对称性,妙解抽象函数图象问题典例1(2016课标全国Ⅱ,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=()A.0B.mC.2mD.4m答案B解析由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称,又易知y==1+的图象关于点(0,1)对称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,∴(xi+yi)=0×+2×=m.故选B.点拨1.解决抽象函数问题的两个常用策略(1)函数性质法:先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质,这样函数就变得相对具体,我们就可以画出符合性质的草图来解题.(2)特殊值法:根据对题目给出的抽象的函数性质的理解,我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值,把抽象函数问题化为具体的数学问题,从而使问题得解.2.解决抽象函数问题常用的结论(1)函数y=f(x)关于x=对称⇔f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)=f(b+a-x);特例:函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x);函数y=f(x)关于x=0对称⇔f(x)=f(-x)(即为偶函数);(2)函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔f(2a+x)+f(-x)=2b;特例:函数y=f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=0⇔f(2a+x)+f(-x)=0;函数y=f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)+f(-x)=0(即为奇函数);(3)y=f(x+a)是偶函数⇔函数y=f(x)关于直线x=a对称;y=f(x+a)是奇函数⇔函数y=f(x)关于(a,0)对称.(4)对f(x)定义域内任一自变量的值x:①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);②若f(x+a)=,则T=2a(a>0);③若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi等于()A.0B.mC.2mD.4m2.已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,若函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(2018)的值为()A.2018B.-2018C.0D.42.巧构造,妙解f(x)与f'(x)共有问题(1)f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型典例2(1)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是.答案(1)A(2)(-∞,-3)∪(0,3)解析(1)令g(x)=,则g'(x)=,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数. f(x)是奇函数,f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)==0,∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上,所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).(2)借助导数的运算法则.f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0⇔[f(x)g(x)]'>0,所以函数y=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增.又分析可知函数y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(-3,0),(0,0),(3,0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).点拨(1)对于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x);(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x);特别地,对于不等式f'(x)>k(或0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x);(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(g(x)≠0);(5)对于不等式xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);(6)对于不等式xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(x≠0).1.已知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf'(x),则不等式f(x+1)>(x-1)·f(x2-1)的解集是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若axf'(x)恒成立,则x2f-f(x)>0的解集为.(2)xf'(x)±nf'(x)型典例3设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是()A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)
