第16讲导数与函数的单调性夯实基础【p39】【学习目标】了解函数的单调性和导数的关系；会利用导数研究函数的单调性．【基础检测】1．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为()【解析】观察函数y＝f(x)图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增．对应的导数符号为正，负，正，选项D的图象正确．故选D.【答案】D2．函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是()A．(－∞，1)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】 函数f(x)＝lnx－x，∴定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝－1＝>0，解得00，所以函数f(x)为增函数，所以不等式f0，所以f在R上单调递增．当a≠0时，f′＝aex.当a>0时，在上，f′<0，所以f单调递减；在上，f′>0，所以f单调递增．当a<0时，在上，f′>0，所以f单调递增；在上，f′<0，所以f单调递减.【小结】导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的3步骤：(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)≥0时为增函数；f′(x)≤0时为减函数．考点2利用导数求函数的单调区间已知函数f(x)＝(a≠0)，求函数f(x)的单调区间．【解析】 f＝，∴f′＝＝，①当a>0时，在x∈∪时，f′<0，在x∈时，f′>0，故f在，上是减函数，在上是增函数；②当a<0时，在x∈∪时，f′>0，在x∈时，f′<0，故f在，上是增函数，在上是减函数．【小结】1.利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0；②若已知f(x)的单调性求参数，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上的恒成立问题求解．2．确定函数单调区间4步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．考点3已知函数的单调性求参数的取值范围已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，试求a的取值范围；(3)若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求a的值；(4)若f(x)在区间(－1，1)上不单调，求a的取值范围．【解析】(1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在(－1，1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1，1)上为减函数．(3)f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±；当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0.因此...
