第29讲平面向量的基本定理及坐标运算夯实基础【p63】【学习目标】1．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件．【基础检测】1．已知向量a＝(4，3)，b＝(－2，1)，如果向量a＋λb与b垂直，则|2a－λb|的值为________．【解析】由题可知(a＋λb)·b＝0，即(4－2λ，3＋λ)·(－2，1)＝0，解得λ＝1，所以2a－λb＝(10，5)，|2a－λb|＝5.【答案】52．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)【解析】因为点A(0，1)，B(3，2)，所以AB＝(3－0，2－1)＝(3，1)．因为向量AC＝(－4，－3)，所以BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．【答案】A3．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和4e2－6e1D．e2和e1＋e2【解析】 4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，∴它们不能作为一组基底．【答案】B4．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝()A．2B.C.D.【解析】设正方形边长为2，以A为原点建立平面直角坐标系，则M(2，1)，N(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，BN＝(－1，2)，依题意，AC＝λAM＋μBN，即解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝.【答案】D5．已知向量a＝(－1，2)，点A(－2，1)，若AB∥a且|AB|＝3，O为坐标原点，则OB的坐标为()A．(1，－5)B．(－5，7)C．(1，－5)或(5，－7)D．(1，－5)或(－5，7)【解析】由AB∥a知，存在实数λ，使AB＝λa＝(－λ，2λ)，又|AB|＝3，则λ2＋4λ2＝9×5，即λ＝3或λ＝－3，所以AB＝(3，－6)或(－3，6)．又点A(－2，1)，所以OB＝OA＋AB＝(1，－5)或(－5，7)．【答案】D【知识要点】1．平面向量基本定理如果e1和e2是一个平面内的两个__不共线__向量，那么对于该平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，把a＝(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|＝叫做向量a的长度(模)．3．平面向量坐标运算向量的加减法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__.实数与向量的积若a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝__(λx1，λy1)__.向量的坐标若起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB＝__(x2－x1，y2－y1)__.4.两向量平行和垂直的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥bx1y2－y1x2＝0.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0.典例剖析【p63】考点1平面向量基本定理的应用如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1【解析】选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．【答案】D如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD＝2DB，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC、DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．【解析】(1)由题意知，A是BC的中点，且OD＝OB，由平行四边形法则得，OB＋OC＝2OA.∴OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由题意知，EC∥DC.又 EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b，∴＝，∴λ＝.【点评】用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过...
