母题二十应用导数研究函数的性质【母题原题1】【2018天津，理20】已知函数，，其中a>1．（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线．【考点分析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法．考查函数与方程思想、化归思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．【答案】（I）单调递减区间，单调递增区间为；（II）证明见解析；(Ⅲ)证明见解析．．．则原问题等价于当时，存在，，使得和重合．转化为当时，关于的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的，且，使得，据此可证得存在实数，使得，则题中的结论成立．试题解析：（I）由已知，，有．令，解得．由，可知当变化时，，的变化情况如下表：00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为．曲线在点处的切线．要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得和重合．即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得．③因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解．设函数，即要证明当时，函数存在零点．，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的，且，使得，即．由此可得在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值存在实数t，使得．因此，当时，存在，使得．当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．【母题原题2】【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足．【答案】（1）增区间是，，减区间是．（2）（3）证明见解析试题解析：（Ⅰ）解：由，可得，进而可得．令，解得，或．当x变化时，的变化情况如下表：+-+↗↘↗∴的单调递增区间是，，单调递减区间是．（Ⅱ）证明：由，得，．令函数，则．由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增．因此，当时，，可得．令函数，则．由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减．因此，当时，，可得．∴．（III）证明：对于任意的正整数，，且，令，函数．由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点．∴在内至少有一个零点，不妨设为，则．由（I）知在上单调递增，故，于，∴，∴只要取，就有．【考点】导数的应用【名师点睛】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数．【母题原题3】【2016天津，理20】设函数，，其中（I）求的单调区间；（II）若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为．②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研（2）当时，令，解得，或．当变化时，，的变化情况如下表：＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．（Ⅱ）证明：因为存在极值点，...
