专题限时集训(九)三角函数和解三角形1.(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac=,②csinA=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=sinB,C=,________?注:如果选择多个条件分别解答,按一个解答计分.[解]方案一:选条件①.由C=和余弦定理得=.由sinA=sinB及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c.由①ac=,解得a=,b=c=1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=和余弦定理得=.由sinA=sinB及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c,B=C=,A=.由②csinA=3,所以c=b=2,a=6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2.方案三:选条件③.由C=和余弦定理得=.由sinA=sinB及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c.由③c=b,与b=c矛盾.因此,选条件③时问题中的三角形不存在.2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sinC.[解](1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA==.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120°-C)=2sinC,即+cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=.3.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.[解](1)由题设及正弦定理得sinAsin=sinBsinA.因为sinA≠0,所以sin=sinB.由A+B+C=180°,可得sin=cos,故cos=2sincos.因为cos≠0,故sin=,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.由(1)知A+C=120°.由正弦定理得a===+.由于△ABC为锐角三角形,故0°