专题限时集训(九)三角函数和解三角形1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝sinB，C＝，________？注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分．[解]方案一：选条件①.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.方案二：选条件②.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.由②csinA＝3，所以c＝b＝2，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.方案三：选条件③.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由③c＝b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC．(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sinC．[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.3．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA．因为sinA≠0，所以sin＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由(1)知A＋C＝120°.由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°
