2.7函数与方程挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数的零点与方程的根1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系2.判断一元二次方程根的存在性与根的个数3.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解2015天津文,82014天津,142013天津,72012天津,4函数零点的应用函数与图象★★★分析解读函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,因为函数图象与x轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大的题.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或取值范围是高考中的热点问题.破考点【考点集训】考点函数的零点与方程的根1.函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案C2.已知函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是.答案(0,3)3.函数f(x)={x2-2x-3,x>a,-x,x≤a,当a=0时,f(x)的值域为;当f(x)有两个不同的零点时,实数a的取值范围为.答案[-4,+∞);(-∞,-1)∪[0,3)炼技法【方法集训】方法1判断函数零点所在区间和零点个数的方法1.已知函数f(x)={-x2-2x,x≤m,x-4,x>m.①当m=0时,函数f(x)的零点个数为;②如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为.答案①3②[-2,0)∪[4,+∞)方法2函数零点的应用2.已知函数f(x)={-x2+4x,x≤2,log2x-a,x>2有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.[-1,0)B.(1,2]C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案C3.已知f(x)={2a-(x+4x),x
2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案A2.(2012天津,4,5分)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案BB组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)={ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案C2.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1答案C3.(2018课标Ⅲ,15,5分)函数f(x)=cos(3x+π6)在[0,π]的零点个数为.答案34.(2018江苏,19,16分)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=bexx.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.解析本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.(1)证明: 函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,∴f'(x)=1,g'(x)=2x+2, f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x),∴{x=x2+2x-2,1=2x+2,此方程组无解.∴f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2) f(x)=ax2-1,g(x)=lnx,∴f'(x)=2ax,g'(x)=1x,设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),得{ax02-1=lnx0,2ax0=1x0,即{ax02-1=lnx0,2ax02=1,(*)解得lnx0=-12,即x0=e-12,则a=12(e-12)2=e2.当a=e2时,x0=e-12满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,因此,a的值为e2.(3)f'(x)=-2x,g'(x)=bex(x-1)x2,x≠0,f'(x0)=g'(x0)b⇒ex0=-2x03x0-1>0x⇒0∈(0,1),f(x0)=g(x0)-⇒x02+a=bex0x0=-2x02x0-1a=⇒x02-2x02x0-1,令h(x)=x2-2x2x-1-a=-x3+3x2+ax-a1-x,x∈(0,1),a>0,设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,则m(0)=-a<0,m(1)=2>0m(0)·m(1)<0,⇒又m(x)的图象在(0,1)上连续,∴m(x)在(0,1)上有零点,∴h(x)在(0,1)上有零点.∴对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.思路分析本题是新定义情境下运用导数研究函数零...
