课时作业26正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(D)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角，前进200m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(A)A．50(＋1)mB．100(＋1)mC．50mD.100m解析：如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin75°＝100×＝50(＋1)(m)．3．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是(D)A.km2B.km2C.km2D.km2解析：连接AC，根据余弦定理可得AC＝km，故△ABC为直角三角形．且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝xkm，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3×(2－)，所以所求的面积为×1×＋×3×(2－)×＝＝(km2)．4．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sinB＝3sinC，则△ABC的周长等于(A)A．5＋B．12C．10＋D．5＋2解析：在△ABC中，∠A＝60°. 2sinB＝3sinC，∴由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sinA，可得bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝7，∴a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A.5．如图，在△ABC中，BD·sinB＝CD·sinC，BD＝2DC＝2，AD＝2，则△ABC的面积为(B)A.B.C．3D.3解析：过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E，F.由BD·sinB＝CD·sinC得DE＝DF，则AD为∠BAC的平分线，∴＝＝2，又cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，即＝－，解得AC＝2.则AB＝4.在△ABC中，cos∠BAC＝＝，∴sin∠BAC＝，∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝.6．(多选题)△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，在下列命题中，是真命题的有(BCD)A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形B．若a·b＝0.则△ABC为直角三角形C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形解析：如图所示，△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b.若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；若a·b＝0，则BC⊥CA，△ABC为直角三角形，B正确；若a·b＝c·b，b·(a－c)＝0，CA·(BC－AB)＝0，CA·(BC＋BA)＝0，取AC中点D，则CA·BD＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cosA，由余弦定理可得：cosA＝－cosA，即cosA＝0，即A＝，即△ABC为直角三角形，即D正确，综合可得真命题的有BCD，故选BCD.二、填空题7．如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于15.解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.8.如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cosA＝.解析： AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A.设AD＝BD＝x，∴在△BCD中，＝，可得＝.①在△AED中，＝，可得＝.②∴联立①②可得＝，解得cosA＝.9．在△ABC中，已知BC＝2，AB·AC＝2，则△ABC面积的最大值是.解析：由BC＝AC－AB，得\a\vs4\al(BC)2＝(AC－AB)2，设|AB|＝c，|AC|＝b，则b2＋c2＝8，又因为AB·AC＝bc·cosA＝2，所以cosA＝，所以sin2A＝1－，设△ABC的面积为S，则S2＝(bc)2sin2A＝(b2c2－4)，因为bc≤＝4，所以S2≤3(当且仅当b＝c＝2取“＝”号)，所以S≤.所以△ABC面积的最大值是.10．(多填题)在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.若AB＝BD，则∠CAD＝.若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为.解析：设BD＝m，则AB＝m，BC＝2m，根据余弦定理，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝m2，AC2＝AB2＋BC2－2AB...
