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新高考数学一轮复习 第五章 数列 课时作业35 数列求和(含解析)-人教版高三数学试题VIP免费

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课时作业35数列求和1.已知等差数列{an}的公差d≠0,a3=6,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=2an,求数列{an+bn}的前n项和Sn.解:(1)根据题意,得即解得或(不合题意,舍去),所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)得bn=2an=22n=4n,所以数列{bn}是首项为4,公比为4的等比数列.所以Sn=(a1+a2+a3+…+an)+(b1+b2+b3+…+bn)=+=n2+n+.2.设数列{an}的前n项和为Sn,且S4=120,an+1=3an.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3a2n-1,求数列的前n项和Tn.解:(1) S4=120,an+1=3an,∴{an}是公比q=3的等比数列.又S4==120,解得a1=3,∴{an}是以3为首项,以3为公比的等比数列,其通项公式为an=a1qn-1=3n.(2) bn=log332n-1=2n-1,∴Tn=++…+===.3.已知等差数列{an}的公差d≠0,若a3+a9=22,且a5,a8,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)设数列{an}的首项为a1,依题意,解得a1=1,d=2,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)bn====1+=1+,∴Sn=1+×+1+×+…+1+=n+=.4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>1,且a2+1为a1,a3的等差中项,S3=14.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=an·log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)由题意,得2(a2+1)=a1+a3.又S3=a1+a2+a3=14,∴2(a2+1)=14-a2,∴a2=4, S3=+4+4q=14,∴q=2或q=, q>1,∴q=2.∴an=a2qn-2=4·2n-2=2n.(2)由(1),知an=2n,∴bn=an·log2an=2n·n.∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n.∴2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.∴-Tn=2+22+23+24+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=(1-n)2n+1-2.∴Tn=(n-1)2n+1+2.5.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,满足S2+4S4=S6,a1=1.(1)求数列{an}的公比q;(2)令bn=an-15,求T=|b1|+|b2|+…+|b10|的值.解:(1){an}是正项等比数列,若q=1,则Sn=na1=n,∴S2=2,4S4=4×4,S6=6,不合题意,∴q≠1,从而Sn=.由S2+4S4=S6可知+4·=,∴(1-q2)+4(1-q4)=1-q6,而q≠1,且q>0,∴1+4(1+q2)=1+q2+q4,即q4-3q2-4=0,∴(q2-4)(q2+1)=0,∴q=2.(2)由(1)知an=2n-1,则an的前n项和Sn==2n-1.当n≥5时,bn=2n-1-15>0,n≤4时,bn=2n-1-15<0,∴T=-(b1+b2+b3+b4)+(b5+b6+…+b10)=-(a1+a2+a3+a4-15×4)+(a5+a6+…+a10-15×6)=-S4+S10-S4+60-90=S10-2S4-30=(210-1)-2×(24-1)-30=210-25-29=1024-32-29=963.6.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物单价是1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元,则n的值为(D)A.7B.8C.9D.10解析:由题意知,茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差数列{an},且an=n,货物单价构成一个等比数列{bn},且bn=n-1,所以每一层货物的总价为anbn=n·n-1万元.所以这堆货物的总价(单位:万元)为Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,所以Sn=1×1+2×+3×2+…+(n-1)×n-2+n×n-1.两边同乘得Sn=1×+2×2+3×3+…+(n-1)×n-1+n×n,两式相减得Sn=1++2+3+…+n-1-n×n=10-(10+n)×n,所以Sn=100-10×(10+n)×n,由100-10×(10+n)×n=100-200×n,整理得10×(10+n)=200,解得n=10.故选D.7.(多填题)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=an2+bn(a,b为常数),且a9=,则a1+a17=π;设函数f(x)=2+sin2x-2sin2,yn=f(an),则数列{yn}的前17项和为17.解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an2+bn-[a(n-1)2+b(n-1)]=2na-a+b.又当n=1时,a1=S1=a+b,满足an=2na-a+b,所以an=2na-a+b,所以数列{an}为等差数列,故a1...

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