新高考数学一轮复习 第五章 数列 课时作业35 数列求和（含解析）-人教版高三数学试题VIP免费

课时作业35数列求和1．已知等差数列{an}的公差d≠0，a3＝6，且a1，a2，a4成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝2an，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解：(1)根据题意，得即解得或(不合题意，舍去)，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)得bn＝2an＝22n＝4n，所以数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列．所以Sn＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)＋(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝＋＝n2＋n＋.2．设数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝120，an＋1＝3an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a2n－1，求数列的前n项和Tn.解：(1) S4＝120，an＋1＝3an，∴{an}是公比q＝3的等比数列．又S4＝＝120，解得a1＝3，∴{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列，其通项公式为an＝a1qn－1＝3n.(2) bn＝log332n－1＝2n－1，∴Tn＝＋＋…＋＝＝＝.3．已知等差数列{an}的公差d≠0，若a3＋a9＝22，且a5，a8，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的首项为a1，依题意，解得a1＝1，d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)bn＝＝＝＝1＋＝1＋，∴Sn＝1＋×＋1＋×＋…＋1＋＝n＋＝.4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，且a2＋1为a1，a3的等差中项，S3＝14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由题意，得2(a2＋1)＝a1＋a3.又S3＝a1＋a2＋a3＝14，∴2(a2＋1)＝14－a2，∴a2＝4， S3＝＋4＋4q＝14，∴q＝2或q＝， q>1，∴q＝2.∴an＝a2qn－2＝4·2n－2＝2n.(2)由(1)，知an＝2n，∴bn＝an·log2an＝2n·n.∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.∴－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.5．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.(1)求数列{an}的公比q；(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．解：(1){an}是正项等比数列，若q＝1，则Sn＝na1＝n，∴S2＝2,4S4＝4×4，S6＝6，不合题意，∴q≠1，从而Sn＝.由S2＋4S4＝S6可知＋4·＝，∴(1－q2)＋4(1－q4)＝1－q6，而q≠1，且q>0，∴1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，∴(q2－4)(q2＋1)＝0，∴q＝2.(2)由(1)知an＝2n－1，则an的前n项和Sn＝＝2n－1.当n≥5时，bn＝2n－1－15>0，n≤4时，bn＝2n－1－15<0，∴T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6)＝－S4＋S10－S4＋60－90＝S10－2S4－30＝(210－1)－2×(24－1)－30＝210－25－29＝1024－32－29＝963.6．“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价是1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n的值为(D)A．7B．8C．9D.10解析：由题意知，茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差数列{an}，且an＝n，货物单价构成一个等比数列{bn}，且bn＝n－1，所以每一层货物的总价为anbn＝n·n－1万元．所以这堆货物的总价(单位：万元)为Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，所以Sn＝1×1＋2×＋3×2＋…＋(n－1)×n－2＋n×n－1.两边同乘得Sn＝1×＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n，两式相减得Sn＝1＋＋2＋3＋…＋n－1－n×n＝10－(10＋n)×n，所以Sn＝100－10×(10＋n)×n，由100－10×(10＋n)×n＝100－200×n，整理得10×(10＋n)＝200，解得n＝10.故选D.7．(多填题)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，且a9＝，则a1＋a17＝π；设函数f(x)＝2＋sin2x－2sin2，yn＝f(an)，则数列{yn}的前17项和为17.解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－[a(n－1)2＋b(n－1)]＝2na－a＋b.又当n＝1时，a1＝S1＝a＋b，满足an＝2na－a＋b，所以an＝2na－a＋b，所以数列{an}为等差数列，故a1...