课时作业36数列的热点问题一、选择题1．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是(A)A.B.C.D.解析： f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，则＝＝－，用裂项法求得和Sn＝1－＋－＋…＋－＝.2．设函数f(x)定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，若x0＝6，则x2019的值为(D)x123456…f(x)513264…A.1B．2C．4D.5解析： 数列{xn}满足x0＝6，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，∴利用表格可得x1＝f(x0)＝f(6)＝4，x2＝f(x1)＝f(4)＝2，x3＝f(x2)＝f(2)＝1，x4＝f(x3)＝f(1)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝6，x6＝f(x5)＝f(6)＝4，…，∴xn＋5＝xn，∴x2019＝x403×5＋4＝x4＝5.3．数列{an}满足点(an，Sn)(n≥1)在直线y＝3x－2上，则{an}的前5项和为(A)A.B.C.D.－解析：因为点(an，Sn)在直线y＝3x－2上，所以Sn＝3an－2，故Sn－1＝3an－1－2，所以当n≥2时，有an＝3an－3an－1，即an＝an－1.又a1＝1，故an≠0，所以＝，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以S5＝＝2×＝.故选A.4．朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1,3,6,10，….现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为(B)A．50B．55C．100D.110解析：由题意可知三角垛从上而下，每层果子数构成一个数列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，可变形为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此得数列{an}的通项为an＝，则a10＝＝55，故选B.5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＋2a2＝0，S3＝，且a≤Sn≤a＋2，则实数a的取值范围是(B)A．[－1,0]B.C.D.[0,1]解析：设等比数列{an}的公比为q.由a1＋2a2＝0，S3＝，得a1＝1，q＝－，所以Sn＝.当n＝1时，Sn取最大值1；当n＝2时，Sn取最小值.所以解得－1≤a≤，故选B.6．数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(A)A．S2019＝F2021－1B．S2019＝F2021＋2C．S2019＝F2020－1D.S2019＝F2020＋2解析：根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.7．(多选题)已知数列{an}满足：a1＝a，an＋1＝＋(n∈N*)，则下列关于{an}的判断错误的是(ABC)A．∀a>0，∃n≥2，使得an
0，∃n≥2，使得an0，∃m∈N*，总有am0，∃m∈N*，总有am＋n＝an解析：因为∀a1＝a>0，当n≥1时，an＋1＝＋≥2＝，当且仅当＝，即an＝时等号成立，所以对一切n≥2(n∈N*)，都有an≥，A错误；因为an＋1－an＝－＝≤0，所以数列{an}不为单调递增数列，B、C错误，故选ABC.二、填空题8．已知递增等比数列{an}满足a2＋a3＝6a1，则{an}的前三项依次是1,2,4(填首项为正数，公比为2的等比数列的前三项均可)．(填出满足条件的一组即可)解析：设{an}的公比为q，a2＋a3＝6a1⇒a1q＋a1q2＝6a1⇒q＋q2＝6⇒q＝－3或q＝2，又数列{an}单调递增，所以q＝2，所以只要填写首项为正数，公比为2的等比数列的前三项均可，如1,2,4.9．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为13795.16元．(结果保留两位小数，1.0715≈2.759032)解析：由题可得该员工2004年至2019年的月工资收入构成首项a1＝5000，公比q＝1.07的等比数列，所以2019年的月工资收入a16＝5000×1.0715≈13795.16(元)．10．(多填题)已知函数f(x)＝，g(x)＝f...
