单元质检四三角函数(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若点(sin5π6,cos5π6)在角α的终边上,则sinα的值为()A.-√32B.-12C.12D.√322.已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2,-2cos2),则sinα等于()A.sin2B.-sin2C.cos2D.-cos23.函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-√2D.2π,2-√24.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象过点(0,√3),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.(-π3,0)B.(-π6,0)C.(π6,0)D.(π12,0)5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一部分图象如图所示,将该图象上每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象对应的函数g(x)的解析式为()A.g(x)=sin(x+π3)B.g(x)=sin(4x+π3)C.g(x)=sin(x+π6)D.g(x)=sin(4x+π6)6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,若x1,x2∈(-π6,π3),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()A.1B.12C.√22D.√32二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知sin2α=2-2cos2α,则tanα=.8.(2018全国Ⅲ,理15)函数f(x)=cos(3x+π6)在区间[0,π]上的零点个数为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若-π2<α<0,f(α)=56,求sin2α的值.10.(15分)设函数f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),其中0<ω<3.已知f(π6)=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在区间[-π4,3π4]上的最小值.11.(15分)已知函数f(x)=sin2ωx+√3sinωxsin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π2.(1)求出函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间[0,π3]上的取值范围.单元质检四三角函数(A)1.A解析因为角α的终边上一点的坐标为(sin5π6,cos5π6),即(12,-√32),所以由任意角的三角函数的定义,可得sinα=-√32√(12)2+(-√32)2=-√32,故选A.2.D解析因为r=√(2sin2)2+(-2cos2)2=2,所以sinα=yr=-cos2.3.C解析因为f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+√2sin(2x+π4),所以最小正周期为π,当sin(2x+π4)=-1时,f(x)的最小值为2-√2.4.B解析由题意,得√3=2sin(2×0+φ),即sinφ=√32.因为|φ|<π2,所以φ=π3.由2sin(2x+π3)=0,得2x+π3=kπ,k∈Z.当k=0时,x=-π6,故选B.5.A解析由题意得A=1,T=5π6−(-π6)=π,所以ω=2πT=2.因为f(x)的图象经过点(π3,0),所以f(π3)=sin(2π3+φ)=0,又因为|φ|<π2,所以φ=π3,即f(x)=sin(2x+π3).故g(x)=sin(x+π3).6.D解析由题中图象可得A=1,T2=2π2ω=π3−(-π6),解得ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).易知点(π12,1)在函数f(x)的图象上,∴sin(2×π12+φ)=1,即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z.∵|φ|<π2,∴φ=π3,即f(x)=sin(2x+π3).∵x1,x2∈(-π6,π3),且f(x1)=f(x2),∴x1+x2=π12×2=π6.∴f(x1+x2)=sin(2×π6+π3)=√32,故选D.7.0或12解析∵sin2α=2-2cos2α=2-2(1-2sin2α)=4sin2α,∴2sinαcosα=4sin2α,∴sinα=0或cosα=2sinα,即tanα=0或tanα=12.8.3解析令f(x)=cos(3x+π6)=0,得3x+π6=π2+kπ,k∈Z,∴x=π9+kπ3=(3k+1)π9,k∈Z.则f(x)在区间[0,π]上的零点有π9,4π9,7π9.故有3个.9.解(1)∵函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x=√32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12,∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π.(2)若-π2<α<0,则2α+π6∈(-5π6,π6).∵f(α)=sin(2α+π6)+12=56,∴sin(2α+π6)=13,∴2α+π6∈(0,π6),∴cos(2α+π6)=√1-sin2(2α+π6)=2√23,∴sin2α=sin(2α+π6-π6)=sin(2α+π6)cosπ6-cos(2α+π6)·sinπ6=13×√32−2√23×12=√3-2√26.10.解(1)因为f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),所以f(x)=√32sinωx-12cosωx-cosωx=√32sinωx-32cosωx=√3(12sinωx-√32cosωx)=√3sin(ωx-π3).由题设知f(π6)=0,所以ωπ6−π3=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z.又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=√3sin(2x-π3),所以g(x)=√3sin(x+π4-π3)=√3sin(x-π12).因为x∈[-π4,3π4],所以x-π12∈[-π3,2π3].当x-π12=-π3,即x=-π4时,g(x)取得最小值-32.11.解(1)f(x)=1-cos2ωx2+√32sin2ωx=√32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin(2ωx-π6)+12.因为T=π2,所以2π2ω=π2(ω>0),所以ω=2,即f(x)=sin(4x-π6)+12.于是由2kπ-π2≤4x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ2−π12≤x≤kπ2+π6(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为[kπ2-π12,kπ2+π6](k∈Z).(2)因为x∈[0,π3],所以4x-π6∈[-π6,7π6],所以sin(4x-π6)∈[-12,1],所以f(x)∈[0,32].故f(x)在区间[0,π3]上的取值范围是[0,32].
