单元质检六平面向量、解三角形、复数(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)1.设复数i-21+i=a+bi(a,b∈R),则a+b=()A.1B.2C.-1D.-22.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则有()A.⃗AO=2⃗ODB.⃗AO=⃗ODC.⃗AO=3⃗ODD.2⃗AO=⃗OD3.若非零向量a,b满足a⊥(2a+b),且a与b的夹角为2π3,则|a||b|=()A.12B.14C.√32D.24.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则⃗BD·⃗CD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a25.一艘船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为()A.15√2kmB.30√2kmC.45√2kmD.60√2km6.已知向量⃗OB=(2,0),向量⃗OC=(2,2),向量⃗CA=(√2cosα,√2sinα),则向量⃗OA与向量⃗OB的夹角的取值范围是()A.[0,π4]B.[π4,5π12]C.[5π12,π2]D.[π12,5π12]7.已知|⃗OA|=|⃗OB|=2,点C在线段AB上,且|⃗OC|的最小值为1,则|⃗OA-t⃗OB|(t∈R)的最小值为()A.√2B.√3C.2D.√58.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且a·b=1.若e为平面单位向量,则(a+b)·e的最大值为()A.√6B.6C.√7D.7二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.设i为虚数单位,复数z=1-i3-i的虚部是.10.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为.11.已知向量⃗OA=(2,2),⃗OB=(4,1),在x轴上存在一点P使⃗AP·⃗BP有最小值,则点P的坐标是.12.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则⃗AE·⃗AF的最大值为.13.若向量a,b满足a=(-√3,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|=.14.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=√1-x2上一个动点,则⃗BP·⃗BA的取值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共22分)15.(11分)在△ABC中,A=30°,BC=2√5,点D在AB边上,且∠BCD为锐角,CD=2,△BCD的面积为4.(1)求cos∠BCD的值;(2)求边AC的长.16.(11分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足ccosB+(2a+b)cosC=0.(1)求角C;(2)若c=√3,求△ABC面积的最大值.单元质检六平面向量、解三角形、复数1.A解析 i-21+i=-12+32i=a+bi,∴a=-12,b=32.∴a+b=1,故选A.2.B解析由2⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,得⃗OB+⃗OC=-2⃗OA=2⃗AO,即⃗OB+⃗OC=2⃗OD=2⃗AO,所以⃗OD=⃗AO,故选B.3.B解析 a⊥(2a+b),且a与b的夹角为2π3,∴a·(2a+b)=2a2+a·b=2|a|2-12|a||b|=0.又|a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=12|b|,∴|a||b|=14,故选B.4.D解析如图,设⃗BA=a,⃗BC=b,则⃗BD·⃗CD=(⃗BA+⃗BC)·⃗BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+12a2=32a2.5.B解析如图所示,依题意有AB=15×4=60(km),∠DAC=60°,∠CBM=15°,∴∠MAB=30°,∠AMB=45°.在△AMB中,由正弦定理,得60sin45°=BMsin30°,解得BM=30√2(km),故选B.6.D解析由题意,得⃗OA=⃗OC+⃗CA=(2+√2cosα,2+√2sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2.如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量⃗OA与向量⃗OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.7.B解析依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|⃗OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(⃗OA-t⃗OB)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4(t+12)2+3的最小值为3,因此|⃗OA-t⃗OB|的最小值为√3.8.C解析(a+b)·e=a·e+b·e≤|a·e|+|b·e|=|a·e|e||+|b·e|e||,其几何意义为a在e方向上的投影的绝对值与b在e方向上的投影的绝对值的和,当e与a+b共线时,取得最大值,(|a·e|+|b·e|)max=|a+b|=√|a|2+|b|2+2a·b=√7,则(a+b)·e的最大值为√7,故选C.9.-15解析 z=1-i3-i=(1-i)(3+i)(3-i)(3+i)=4-2i10=25−15i,∴复数z=1-i3-i的虚部是-15.10.-5解析由a⊥(ta+b)可得a·(ta+b)=0,所以ta2+a·b=0,而a2=12+(-1)2=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t×2+10=0,解得t=-5.11.(3,0)解析设点P坐标为(x,0),则⃗AP=(x-2,-2),⃗BP=(x-4,-1),⃗AP·⃗BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,⃗AP·⃗BP有最小值1.故点P坐标为(3,0).12.92解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E(2,12).设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,则⃗AE·⃗AF=2x+12y...
