考点规范练3基本不等式及其应用一、基础巩固1.下列不等式一定成立的是()A.lg(x2+14)>lgx(x>0)B.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是()A.72B.4C.92D.53.已知a>0,b>0,a+b=1a+1b,则1a+2b的最小值为()A.4B.2√2C.8D.164.已知不等式2x+m+8x-1>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是()A.m>-10B.m<-10C.m>-8D.m<-85.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.43B.53C.2D.546.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)7.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2√3,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.128.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是.9.已知a>0,b>0,且2a+b=1,求证:(2+1a)(1+2b)≥16+8√3.二、能力提升10.已知不等式2x2-axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是()A.a≤2√2B.a≥2√2C.a≤113D.a≤9211.(2018天津,文13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.12.已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=1,求4x+3y+1x-y的最小值.13.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x.当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?三、高考预测14.已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当cab取最小值时,a+b-c的最大值为()A.2B.34C.38D.14考点规范练3基本不等式及其应用1.C解析因为x>0,所以x2+14≥2·x·12=x,所以lg(x2+14)≥lgx(x>0),故选项A不正确;当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,有1x2+1=1,故选项D不正确.2.C解析由题意,得1a+4b=12(1a+4b)(a+b)=12[5+(ba+4ab)]≥12(5+2√ba·4ab)=92,当且仅当{a+b=2,ba=4ab,a>0,b>0,即a=23,b=43时取等号,故1a+4b的最小值是92.3.B解析由a>0,b>0,a+b=1a+1b=a+bab,得ab=1.则1a+2b≥2√1a·2b=2√2,当且仅当1a=2b,即a=√22,b=√2时等号成立.故选B.4.A解析原不等式可化为-m<2x+8x-1.令f(x)=2x+8x-1(x>1),则f(x)=2(x-1)+8x-1+2≥2√2(x-1)·8x-1+2=10,即当2(x-1)=8x-1时,f(x)取最小值10.因此要使不等式恒成立,应满足-m<10,解得m>-10.5.C解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立).则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.D解析因为x>0,y>0,2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)(2x+1y)=2+4yx+xy+2≥8,当且仅当4yx=xy,即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-41,b>1,所以ab≤(a+b2)2=3,当且仅当a=b时等号成立.所以lg(ab)≤lg3,从而1x+1y≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=√3时等号成立.8.2√63解析∵x>1,∴logx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3≥2√23=2√63,当且仅当x=3√6时等号成立.∴logx9+log27x的最小值为2√63.9.证明(2+1a)(1+2b)=(2+2a+ba)[1+2(2a+b)b]=(4+ba)(3+4ab)=12+16ab+3ba+4=16+16ab+3ba.因为a>0,b>0,所以16ab+3ba≥2√16ab·3ba=8√3,当且仅当16ab=3ba,即√3b=4a时取等号.所以(2+1a)(1+2b)=16+16ab+3ba≥16+8√3.10.A解析因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2(xy)2-a·xy+1≥0.令t=xy,则不等式变为2t2-at+1≥0.由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈[13,2],即2t2-at+1≥0在t∈[13,2]时恒成立.由2t2-at+1≥0可得a≤2t2+1t,即a≤2t+1t.又2t+1t≥2√2t·1t=2√2,当且仅当2t=1t,即t=√22时等号成立,所以2t+1t取得最小值2√2,所以有a≤2√2,故选A.11.14解析∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18b>0.∴2a+18b≥2√2a-3b=2√2-6=14,当且仅当2a=18b,即a=-3,b=1时取等号.12.解∵x>y>0,x+y=1,∴4x+3y+1x-y=2(x+3y+x-y)x+3y+x+3y+x-y2(x-y)=2+2(x-y)x+3y+12+x+3y2(x-y)=2(x-y)x+3y+x+3y2(x-y)+52≥2+52=92,当且仅当2(x-y)x+3y=x+3y2(x-y),即x=56,y=16时等号成立.∴4x+3y+1x-y的最小值是92.13.解(1)因为每件商品售价为0.05万元,所以x千件商品的销售额为(0.05×1000x)万元.依题意得,当0
