考点规范练10幂函数与二次函数一、基础巩固1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象经过点(12,√22),则k+α=()A.12B.1C.32D.22.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为()A.5B.1C.-1D.-33.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.44.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a<5a<0.5aB.5a<0.5a<5-aC.0.5a<5-a<5aD.5a<5-a<0.5a5.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()A.-b2aB.-baC.cD.4ac-b24a6.设α∈{-2,-1,-12,12,1,2},则使f(x)=xα为奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递减的α的值的个数是()A.1B.2C.3D.47.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-254,-4],则m的取值范围是()A.[0,4]B.[32,4]C.[32,+∞)D.[32,3]8.若关于x的不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立,则a的最小值是()A.0B.2C.-52D.-39.已知二次函数f(x)的图象过点(0,1),对称轴为直线x=2,最小值为-1,则它的解析式为.10.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=3,则f(12)=.11.设二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上有最大值4,则实数a的值为.12.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)
0),若f(m)<0,则()A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<014.已知f(x)=x3,若当x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≥32D.a≤3215.设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()16.已知函数f(x)=2ax2+3b(a,b∈R).若对于任意x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,则ab的最大值是.三、高考预测17.设甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;乙:00时,x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,可知x=3;当x<0时,x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,可知x=-3;故f(x)的零点个数为2.故选B.4.B解析5-a=(15)a.因为a<0,所以函数y=xa在区间(0,+∞)内单调递减.又15<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.5.C解析由已知f(x1)=f(x2),且f(x)的图象关于直线x=-b2a对称,则x1+x2=-ba,故f(x1+x2)=f(-ba)=a·b2a2-b·ba+c=c.选C.6.A解析由f(x)=xα在区间(0,+∞)内单调递减,可知α<0.又因为f(x)=xα为奇函数,所以α只能取-1.7.D解析二次函数图象的对称轴的方程为x=32,且f(32)=-254,f(3)=f(0)=-4,结合图象可得m∈[32,3].8.C解析由x2+ax+1≥0,得a≥-(x+1x)在x∈(0,12]上恒成立.令g(x)=-(x+1x),则g(x)在(0,12]上为增函数,所以g(x)max=g(12)=-52,所以a≥-52.9.f(x)=12(x-2)2-1解析依题意可设f(x)=a(x-2)2-1(a≠0).∵函数图象过点(0,1),∴4a-1=1.∴a=12.∴f(x)=12(x-2)2-1.10.13解析依题意设f(x)=xα(α∈R),则有4α2α=3,即2α=3,得α=log23,则f(x)=xlog23,于是f(12)=(12)log23=2-log23=2log213=13.11.38或-3解析由题意可知f(x)的图象的对称轴为直线x=-1.当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.可知f(2)>f(-3),即f(x)max=f(2)=8a+1=4.故a=38.当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,即a=-3.综上所述,a=38或a=-3.12.(3,5)解析∵f(x)=x-12=1√x(x>0),∴f(x)是定义在(0,+∞)内的减函数.又f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得{a>-1,a<5,a>3,∴30,∴f(x)的大致图象如图所示.由f(m)<0,得-10,∴f(m+1)>f(0)>0.14.C解析∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2≥0,∴f(x)在(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有{g(1)=1-a≤0,g(2)=3-2a≤0,解得a≥32.故选C.15.D解析由选项A,C,D知,f(0)=c<0.∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴x=-b2a>0,知选项A,C错误,选项D符合要求.由选项B知f(0)=c>0,则ab>0,故x=-b2a<0,即选项B错误.16.124解析(方法一)由|f(x)|≤1,得|f(1)|=|2a+3b|≤1.所以6ab=2a·3b≤(2a+3b2)2=14(2a+3b)2≤14.且当2a=3b=±12时,取得等号.所以ab的最大值为124.(方法二)由题设得{f(0)=3b,f(1)=2a+3b,故{a=12(f(1)-f(0)),b=13f(0),因此ab=16(f(1)-f(0))f(0)≤16(f(1)2)2≤124.故ab的最大值为124.17.C解析当a=0时,得1>0,符合ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;当a>0时,由ax2+2ax+1>0的解集是R可知Δ=4a2-4a<0,解得0
