考点规范练40椭圆一、基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=12.已知椭圆x29+y24+k=1(k>-4)的离心率为45,则k的值为()A.-1925B.21C.-1925或21D.1925或213.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2>b2B.1a<1bC.0
b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.9.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若⃗AF2=2⃗F2B,⃗AF1·⃗AB=32,求椭圆的方程.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.二、能力提升11.已知P是椭圆x225+y29=1上的一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,1212.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为()A.√32B.√22C.12D.1413.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足⃗PF1·⃗PF2=b22的点P,则椭圆的离心率的范围是.14.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为√32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过点D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.三、高考预测15.(2018全国Ⅰ,理19)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.考点规范练40椭圆1.A解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为x2169+y2144=1.2.C解析若a2=9,b2=4+k,则c=√5-k.由ca=45,即√5-k3=45,解得k=-1925.若a2=4+k,b2=9,则c=√k-5.由ca=45,即√k-5√4+k=45,解得k=21.3.C解析由ax2+by2=1,得x21a+y21b=1.因为椭圆的焦点在x轴上,所以1a>1b>0,所以0b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a. ∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴√3c+c=2a,即(√3+1)c=2a.∴e=ca=2√3+1=2(√3-1)(√3-1)(√3+1)=√3-1.6.C解析由题意知F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),则⃗PF1=(-1-x0,-y0),⃗PF2=(1-x0,-y0),∴⃗PF1+⃗PF2=(-2x0,-2y0),∴|⃗PF1+⃗PF2|=√4x02+4y02=2√2-2y02+y02=2√-y02+2. 点P在椭圆上,∴0≤y02≤1,∴当y02=1时,|⃗PF1+⃗PF2|取最小值2.故选C.7.513解析由题意知a=3,b=√5.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点.由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=6-|PF2|=133,所以|PF2||PF1|=513.8.√63解析由题意得B(-√32a,b2),C(√32a,b2),F(c,0),所以⃗BF=(c+√32a,-b2),⃗CF=(c-√32a,-b2).因为∠BFC=90°,所以⃗BF·⃗CF=0.所以c2-(√32a)2+(b2)2=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=√63.9.解(1)因为∠F1AB=90...
